Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.
Пример.
а)
Перевести 101011012
"10"
с.сч.
Позиция цифры/разряд |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
Число |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
101011012 = 1×27+ 0×26+ 1×25+ 0×24+ 1×23+ 1×22+ 0×21+ 1×20 = 17310
б) Перевести 7038 "10" с.сч.
Позиция цифры/разряд |
2 |
1 |
0 |
Число |
7 |
0 |
3 |
7038 = 7×82+ 0×81+ 3×80 = 45110
в) Перевести B2E16 "10" с.сч.
Позиция цифры/разряд |
2 |
1 |
0 |
Число |
B(11) |
2 |
E(14) |
B2E16 = 11×162+ 2×161+ 14×160 = 286210
Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.
Пример.
а) Перевести 18110 "8" с.с.
Результат: 18110 = 2658
б) Перевести 62210 "16" с.с.
Результат: 62210 = 26E16
Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) (Таб. 5) или четырехразрядным двоичным числом (тетрадой) (Таб. 5).
Пример.
а) Перевести 3058 "2" с.сч.
б) Перевести 7B216 "2" с.с.
Для перехода от двоичной к восьмеричной (шестнадцатеричной) системе поступают следующим образом: двигаясь от точки влево, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайнюю левую группу. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.
Пример.
а) Перевести 11011110012 "8" с.с.
б) Перевести 111111110112 "16" с.с.
Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.
Пример. Перевести 175.248 "16" с.с.
Результат: 175.248 = 7D.516.
Двоичная арифметика.
Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания (Таблица 6).
Таблица 6. Таблица арифметических операций
Таблица двоичного сложения |
Таблица двоичного вычитания |
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 |
0-0=0 1-0=1 1-1=0 10-1=1 |
При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и переноса из соседнего младшего разряда, если он имеется. При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий.
Пример. Выполнить сложение двоичных чисел: а) X=1101, Y=101;
Результат 1101+101=10010.
б) X=1101, Y=101, Z=111;
Результат 1101+101+111=11001.
При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда. Эта занимаемая 1 равна двум 1 данного разряда.
Пример. Заданы двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X-Y.
Результат 10010 - 101=1101.
Аналогично двоичной арифметике происходит сложение и вычитание чисел в другой системе счисления.
Таблица 7 Таблица сложения в 8 с.сч.
+ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
4 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
5 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
6 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
7 |
7 |
7+1=8+0 10 |
7+2=8+1 11 |
7+3=8+2 12 |
7+4=8+3 13 |
7+5=8+4 14 |
7+6=8+5 15 |
7+7=8+6 16 |
Таблица 8 Таблица сложения в 16 с.сч.
+ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
(10) A |
(11) B |
(12) C |
(13) D |
(14) E |
(15) F |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
4 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
5 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
6 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
7 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
8 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
9 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
(10) A |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
(11) B |
B |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
(12) C |
C |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
1B |
(13) D |
D |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
1B |
1C |
(14) E |
E |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
1B |
1C |
1D |
(15) F |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1A |
1B |
1C |
1D |
1E |
В данной таблице происходит следующая процедура получения результатов сложения:
F16+116=15+1=1×16+0=1016
E16+716=14+7=1×16+5=1516
D16+F16=13+15=1×16+12=1C16
Пример. Выполнить сложение чисел в 8 с.сч. (а) и в 16 с.сч. (б)
а) X=5678, Y=3268;
|
|
|
|
|
|
111 |
|
X= |
+ |
567 |
|
Y= |
326 |
|
|
X+Y= |
|
1115 |
|
Сложение начинаем с младших разрядов:
78+68=13=1×8+5=158 (записываем 5, переносим 1 в следующий разряд)
1+6+2=9=1×8+1=118 (записываем 1, переносим 1 в следующий разряд)
1+3+5=9=1×8+1=118 (записываем 1, переносим 1 в следующий разряд)
Результат 5678+3268=11158.
б) X=32F16, Y=1AC16, Z=10916;
|
|
|
|
|
|
2 |
|
X= |
+ + |
32F |
|
Y= |
1AC |
|
|
Z= |
109 |
|
|
X+Y+Z= |
|
5E4 |
|
Сложение начинаем с младших разрядов:
F16+C16+916=15+12+9=36=2×16+4=2416 (записываем 4, переносим 2 в следующий разряд)
2+2+A+0=4+10=14=E16 (записываем E)
3+1+1=516 (записываем 5)
Результат 32F16+1AC16+10916=5E416.