5.2. Визначений інтеґрал

Означення 2. Нехай функцію задано на відрізку a, b (рис. 2).

1. Поділимо відрізок на n частин (підінтервалів)

точками (точками поділу)

;

нехай

,

.

2. Візьмемо довільну точку в кожному підінтервалі Рис. 2 знайдемо значення функції в цій точці і помножимо його на довжину підінтервала.

3. Додаючи всі такі добутки , отримуємо суму (так звану інтеґ-ральну суму Коші¹-Рімана²)

. ( 8 )

4. Якщо існує скінченна границя інтеґральної суми (8) при , ця границя називається визначеним інтеґралом функції на відрізку a, b і позначається

. ( 9 )

Ми читаємо ліву частину в (9) наступним чином: “(визначений) інтеґрал від a до b (функції) ” (слова в дужках можна випускати).

мають ті ж назви, що й в невизначеному інтеґралі; число a називається нижньою межею інтеґрування, b – верхньою межею інтеґрування.

Означення 3. Функція називається інтеґровною на відрізку a, b, якщо існує її визначений інтеґрал (9).

Теорема 1 (теорема існування). Якщо функція неперервна на відрізку , то вона інтеґровна на ньому.

Геометричний сенс визначеного інтеґрала. Якщо підінтеґральна функція неперервна і невід"ємна, , на відрізку , то на підставі (2), (3) її визначений інтеґрал дає площу криволінійної трапеції (1), рис. 1,

( 10 )

Экономічний сенс визначеного інтеґрала. Якщо неперервна функція визначає продуктивність праці деякого підприємства, то кількість U продукції, виробленої ним протягом інтервалу часу 0, T, на підставі (4), (5) дається визначеним інтеґралом,

. ( 11 )

Фізичний сенс визначеного інтеґрала. Якщо неперервна функція є швидкістю матеріальної точки, то на підставі (6), (7) довжина L шляху, пройденого нею протягом інтервалу часу від t = 0 до t = T , виражається визначеним інтеґралом

( 12 )

Приклад 1. Довести, що

( 13 )

■Підінтеґральна функція , і тому інтеґральна сума (8) дорівнює довжині відрізка , тобто

,

а отже, її границя, яка є інтеґралом (13), дорівнює .■

Зауваження. Визначений інтеґрал не залежить від змінної інтеґрування:

( 14 )

Означення 4 (визначений інтеґрал з рівними межами інтеґрування). Визначений інтеґрал з рівними межами інтеґрування вважається за означенням рівним нулю,

. ( 15 )

Доречність такого означення випливає, наприклад, з геометричного сенсу визначеного інтеґрала, якщо уявити собі, що і при цьому площа криволінійної трапеції прямує до нуля.

Означення 5 (зміна місцями меж інтеґрування).

. ( 16 )

Замість означення 5 ми могли б дати інше, а саме – означення інтеґрала в правій частині рівності (16) (при ). Тоді б ми отримали цю рівність як нас-лідок. Дійсно,

Але такий шлях є набагато громіздкішим.