4.8. Поняття про інтеґрали, які не "беруться"
Вище ми обчислили велику кількість невизначених інтеґралів. Успіш-ність проведеної роботи не повинна вводити нас в оману. Далеко не всякий інтеґрал може бути обчислений так же просто, как це було в нас. Більш того, існує велика кількість невизначених інтеґралів, які взагалі неможливо взяти за допомогою елементарних функцій. Не входячи в деталі, наведемо декілька прикладів таких інтеґралів, які не "беруться". Так, до їх числа належать такі достатньо прості за формою інтеґрали
де k - довільне натуральне число.
5. Визначений інтеґрал
5.1. Задачі, які ведуть до поняття визначеного інтеґрала
5 .1.1. Площа криволінійної трапеції
Означення 1.
Криволінійною
тра-пецією
(першого типу) в площині
називається
фигура, обмежена двома
прямими
,
,
віссю
і
кривою
(рис.1).
Fig. 1
Зручно визначати
криволінійну
трапецію як
наступну точкову
множину в площині
:
.
( 1 )
Щоб означити поняття площі криволінійної трапеції (1), виконаємо наступні дії.
1. Точками
поділимо відрізок на n частин (підінтервалів)
з довжинами
,
відповідно,
і нехай
- найбільша з цих довжин, тобто
.
2. Візьмемо
довільну точку
в кожній частині
знайдемо
значення функції
в цій точці
і помножимо
його на
.
3. Склавши всі
такі добутки
,
отримаємо суму
( 2 )
- площу
ступінчастої
фігури,
утвореної прямокутниками
з основами
і висотами
.
4. Нехай прямує до нуля. Якщо існує границя сумы (2), вона називаєть-ся площею криволінійної трапеції (1) (рис.1) і позначається
.
( 3 )
5.1.2. Кількість виготовленої продукції
Нехай
- продуктивність праці
деякого підприємства
в момент часу t.
Знайдемо
кількість
продукції, виготовленої
протягом проміжка
часу
.
Якщо
,
то
.
Але, як
правило,
,
і тому ми
чинимо наступним чином.
1. Поділимо інтервал часу 0, T на n частин
,
і
покладемо
.
2. Візьмемо
довільну точку
в кожній частині
знайдемо
значення функції
в цій точці
і помножимо
його на
.
3. Додаючи всі добутки
,
знаходимо
наближене значення
кількості
продукції, виготовленої
протягом проміжка
часу 0,
T,
тобто
.
( 4 )
4. Спрямовуючи
до нуля,
знаходимо
точне значення кількості
виготовленої продукції
.
( 5 )
5.1.3. Довжина пройденого шляху.
Знайдемо
довжину L
шляху, пройденого
матеріальною
точкою, що
рухає-ться з швидкістю
,
протягом проміжку
часу тривалості
(від t
= 0).
Якщо
,
то
.
У випадку змінної швидкості ми діємо таким же чином, як і в попередніх задачах.
1. Ділимо відрізок 0, T на n частин
і покладаємо .
2. В кожному інтервалі часу беремо довільний момент , знаходимо значення швидкості в цей момент і помножаємо його на довжину інтервала .
3. Додаючи всі
добутки
,
знаходимо
наближене значення
должини L
шляху, пройденого
матеріальною
точкою протягом
часового інтервалу 0,
T,
тобто
.
( 6 )
4. Спрямовуючи до нуля, знаходимо точне значення величини пройденого шляху L,
.
( 7 )