4.6.3. Деякі інші методи а) Застосування формул зниження степеня
,
( 11 )
Приклад 17.
.
Приклад 18.
.
Приклад 19.
.
Б) Застосування формул перетворення добутку тригонометричних функцій в алгебричну суму
1)
;
2)
;
3)
.
( 12 )
Приклад 20.
.
Приклад 21.
4.7. Інтеґрування ірраціональних функцій
4.7.1. Линійні і дробово-лінійні ірраціональності
Обчислення невизначених інтеґралів вигляду
,
( 13 )
які містять так звану лінійну ірраціональність
,
зводиться до інтеґрування раціональної функції однієї змінної t за допомоги підстановки
(
14 )
■На підставі (14) маємо
Ми отримуємо інтеґрал від раціональної функції
.■
Невизначені інтеґрали вигляду
( 15
)
з дробово-лінійною ірраціональністю
зводяться до інтеґралів від раціональних функцій за допомогою підстановки
( 16 )
■Дійсно, з (16) отримуємо (детальні перетворення зробіть самостійно)
,
,
і залишається проінтеґрувати раціональну функцію
.
Приклад 22.
.
Приклад 23.
4.7.2. Квадратичні ірраціональності. Тригонометричні підстановки
Невизначений інтеґрал вигляду
( 17 )
позбавляється
кореня і зводиться
до інтеґрала
від раціональної
функції арґументів
за допомогою тригонометричної
підстановки
.
( 18 )
Те ж саме справедливо стосовно інтеґрала
,
( 19 )
якщо застосувати підстановку
,
( 20 )
і для інтеґрала
,
( 21 )
якщо покласти
.
( 22 )
■Розгляньмо інтеґрал (17) і покладімо
.
Отримаємо
,
,
,
де
.■
Інтеґрали (19), (21) розгляньте самостійно.
Приклад 24.
.
Приклад 25.
.
Приклад 26.
4.7.3. Квадратичні ірраціональності (загальний випадок)
Невизначений інтеґрал вигляду
( 23 )
може бути зведений до одного з інтеґралів (17), (19), (21) за допомогою підстановки
( 24 )
Існує багато інших методів обчислення інтеґралів вигляду (23). Зокрема, можна звести інтеґрування до інтеґрування раціональної функціх за допомоги так званих підстановок Ейлера.
Перша підстановка
Ейлера (якщо
):
;
( 25 )
друга
підстановка Ейлера
(якщо
):
;
( 26 )
третя
підстановка Ейлера
(якщо тричлен
має два дійсних кореня
):
.
( 27 )
Приклад 27. Нехай
.
Застосовуючи першу підстановку Ейлера (25) в наступному вигляді
отримуємо
,
так що
.
Розвинимо підінтеґральну функцію (правильний раціональний дріб) в суму найпростіших раціональних дробів. Перш за все покладаємо
.
Помножаючи обидві частини
тотожності на спільний
знаменник
,
доходимо тотожності
Дамо
далі змінній
t три довільних
значення, наприклад
,
звідки
Повертаємось до обчислення даного інтеґрала. Маємо
