4.4. Інтеґрування частинами

Теорема 3. Нехай - дві неперервно диференційовні функції. Справедливою є наступна формула (формула інтеґрування частинами):

( 12 )

■Диференціал добутку функцій дорівнює

.

Інтеґруючи цю рівність (з використанням властивості 2 невизначеного інтеґрала), отримуємо

.■

Відповідно формулі (12) ми подаємо підінтеґральний вираз у вигляді добутку двох функцій, саме u і dv. Після цього ми першу функцію диференціює-мо, а другу інтеґруємо.

Приклад 19.

.

Приклад 20. В разі необхідності інтеґрування частинами можна здійснювати кілька разів.

Приклад 21. Обчислити інтеґрал

.

До бажаного результату ведуть два інтеґрування частинами.

Приклад 22.

Иноді інтеґрування частинами веде до простого рівняння відносно шуканого інтеґрала

Приклад 23. Нехай

.

Після двох інтеґрувань частинами отримуємо

.

Ми прийшли до рівняння відносно I, а отже

.

Таким чином,

Аналогічними міркуваннями ми можемо отримати загальні формули 17, 18 таблиці найпростіших інтеґралів.

Приклад 24. Обчислити невизначений інтеґрал

Таким образом,

,

і ми довели справедливість формули 15 в таблиці найпростіших інтеґралів. Формулу 16 спробуйте довести самостійно.

Зауваження. Не існує загальних правил для вибору . Але в деяких випадках відповідні вказівки зробити можна.

Для інтеґралів вигляду

,

де - многочлен, слід покласти .

У випадках інтеґралів вигляду

треба покласти .

Наведімо декілька прикладів.

Приклад 25.

.

Для обчислення проміжного інтеґрала можна було б застосувати готову формулу (9) при .

Приклад 26.

При обчисленні невизначених інтеґралів часто доводиться комбінувати методи заміни змінної та інтеґрування частинами. Наводимо приклади.

Приклад 27.

.

Приклад 28.

.

Приклад 29.

.

Приклад 30.

Приклад 31. Розглянемо останній приклад, в якому успішно застосовуються два інтеґрування частинами і заміна змінної.

.

Переважна більшість наведених вище прикладів засвідчує, що операція інтеґрування є набагато складнішою, і в усякому разі набагато громіздкішою, ніж операція диференціювання. Більш того, нижче ми наведемо приклади функцій, які взагалі не можна проінтеґрувати (тобто подати результат інтеґрування у вигляді елементарної функції). Проте існують класи функцій (або класи інтеґровних функцій), про які можна сказати, що їх принципово можна проінтеґрувати. Деякі з таких класів ми розглянемо нижче.

4.5. Інтеґрування раціональних дробів та функцій

Означення 1. Раціональною функцією називаеться функція, яку можна представити у вигляді раціонального дробу, тобто у вигляді відношення двох многочленів

. ( 1 )

Означення 2. Раціональний дріб (1) називаеться правильним, якщо многочлен в чисельнику є меншого степеня, ніж в знаменнику ( ), і неправи-льним в протилежному випадку ( ).

Теорема 1 (виділення цілої частини неправильного раціонального дробу). Кожний неправильний раціональний дріб може бути поданий у вигляді суми деякого многочлена (так званої цілої частини) і правильного раціонального дробу.

■Нехай . Поділивши чисельник на знаменник за допомоги відомої процедури ділення многочленів з остачею, ми отримаємо

,

де - многочлени (відповідно частка і остача), причому остача є многочленом меншого степеня, ніж . Замінивши тепер чисельник правою частиною останної рівності та почленно поділивши на , матимемо

,

де раціональний дріб

є правильним.■

Приклад 1. Виділити цілу частину неправильного раціонального дробу

a) Перший (теоретичний) спосіб. Після ділення на маємо

b) Другий спосіб. Віднімаючи і додаючи 1 в чисельнику, отримаємо

Серед правильних раціональних дробів слід особливо виділити так звані елементарні, або найпростіші, раціональні дроби 1- 4 типів

1. , де - довільні сталі;

2. - сталі, а k – довільне натуральне число;

3. де - довільні сталі, а - ква-

дратний тричлен з від"ємним дискримінантом ;

4. k – довільне натуральне число, і .

Дроби типів 1, 3 ми вже інтеґрували в п. 4.3.

Для інтеґрування найпростішого раціонального дробу 2-го типу можемо здійснити заміну змінної

(зробіть це самостійно!).

Інтеґрування найпростішого раціонального дробу 4-го типу за допомоги підстановки

веде до лінійної комбінациї простого інтеґрала

та інтеґрала

.

Для його обчислення при малих значеннях k ( ) можна застосувати заміну змінної . В загальному випадку існує спеціальна (так звана рекурентна) формула, яка дозволяє звести до , до , …, до з відомим (табличним) інтеґралом

Приклад 2.

.

Таким чином, можна сказати, що ми вміємо інтеґрувати найпростіші ра-ціональні дроби. Це дає нам можливість інтеґрувати довільниі раціональні дроби з огляду на наступну теорему.

Теорема 2 (розвинення правильного раціонального дробу в суму найпро-стіших). Кожний правильний раціональний дріб можна представити у вигляді суми найпростіших раціональних дробів.

Справедливість теореми заснована на тому відомому факті, що будь-який многочлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти в добуток лінійних двочленів і квадратних тричленів з від"ємними дискримінантами. В основі ж цього факту лежить основна теорема алгебри про існування кореня у будь-якого многочлена степеня не нижче першого.

Ми не будемо доводити теорему 2 і не писатимемо відповідних загальних формул, а обмежимось кількома частинними випадками розвинень, які найчастіше зустрічаються на практиці.

а) Знаменник правильного дробу розкладений в добуток двох лінійних двочленів . Відповідне розвинення в суму найпростіших раціональних дробів має вигляд

з невизначеними коефіцієнтами , які знаходяться так званим методом невизначених коефіцієнтів.

б) Знаменник дробу розкладений в добуток лінійного двочлена і квадратного тричлена. Відповідне розвинення в суму найпростіших раціональних дробів має вигляд

з невизначеними коефіцієнтами .

в) Знаменник розкладений в добуток квадрата лінійного двочлена і квадратного тричлена. Відповідне розвинення є

з невизначеними коефіцієнтами .

г) Знаменник розкладений в добуток двох квадратних тричленів. Цьому випадку відповідає розвинення

з невизначеними коефіцієнтами .

З теореми 2 і властивості лінійності невизначеного інтеґрала випливає можливість проінтеґрувати будь-яку раціональну функцію.

Правило інтеґрування раціональної функції. Щоб проінтеґрувати раціональну функцію, необхідно:

1. Виділити її цілу частину, якщо функція є неправильним дробом або містить неправильний дріб.

2. Розкласти знаменник отриманого правильного дробу в добуток многочленів степеня не вище другого.

3. Розкласти правильний раціональний дріб в суму найпростіших.

4. Проінтеґрувати всі члени отриманої алгебричної суми.

5. Записати відповідь.

Приклад 3.

.

Приклад 4. Обчислити невизначений інтеґрал

,

тобто довести формулу високого логарифму 13 в таблиці найпростіших інтеґралів.

1-й крок (розкладання на множники знаменника правильного дробу).

.

2-й крок (розвинення дробу в суму найпростіших дробів з використанням методу невизначених коефіцієнтів).

Дамо змінній x в (*) будь-які два значення, краще за все . Дістанемо систему рівнянь відносно невизначених коефіцієнтів ,

3-й крок (інтеґрування отриманої алгебричної сумми). Маємо

Приклад 5. Обчислити невизначений інтеґрал

1-й крок (розвинення підінтеґральної функції, котра є правильним раціональлним дробом з розкладеним на множники знаменником, в суму найпрості-ших дробів).

,

. (**)

Надаючи змінній x в (**) три довільні значення, наприклад , дістаємо систему линійних рівнянь відносно невизначених коефіцієнтів ,

2-й крок (інтеґрування всіх членів отриманого розвинення)

другий доданок вже було проінтеґовано в п. 4.3, так що

Відповідь.