4.2.2. Властивості невизначеного інтеґрала

1. Похідна невизначеного ітеґрала дорівнює підінтеґральній функції; диференціал невизначеного інтеґрала дорівнює підінтеґральному виразу:

.

■ ■

Наслідок. Справедливість інтеґрування можна перевірити диференціюванням результату.

Перевіримо, наприклад, справедливість формул 13, 14 таблиці найпростіших інтегралів. Маємо

.

Таким чином, функції в правих частинах формул 13, 14 дійсно є первісними підінтеґральних функцій (пізніше ми дамо ще одне доведення цих важливих формул). Набагато простіше перевірити справедливість формул 1 а, 1 б, 1 в, 3 а, 4 а, 5 а, 6 а, 10. Що стосується формул (15)-(18), то ми їх виведемо пізніше з інших міркувань.

2. Невизначений інтеґрал похідної (диференціала) будь-якої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої:

.

Наслідок. За допомоги інтеґрування будь-яка функція може бути (з точністю до адитивної сталої C) відновлена з її похідної чи диференціала.

Приклад 4.

.

3 (адитивність). Невизначений інтеґрал алгебричної суми скінченної кількості функцій дорівнює такій же алгебричній сумі їх інтеґралів, зокрема

.

■Достатньо довести, що похідні лівої і правої частин останньої рівності збігаються. Але на підставі властивості 1 ми маємо з одного боку

а з іншого

■

4 (однорідність). Сталий множник може бути винесений за знак невизначеного інтеґрала:

.

Доведіть цю властивість самостійно (диференціюванням).

Наслідок (лінійність). Для довільних функцій і сталих

.

На підставі властивості лінійності і таблиці найпростіших невизначених інтеґралів ми нерідко можемо здійснювати так зване пряме, або безпосереднє інтеґрування.

Приклади.

5.

.

6.

.

7.

,

де - довільна стала з огляду на довільність и .

8. Як наслідок маємо

,

де - довільна стала (внаслідок довільності ).

Далі ми не будемо вводити довільні сталі для кожного невизначеного інтеґрала, а сразу використовуватимемо одну довільну сталу С.

Основними методами обчислення невизначених (а пізніше і визначених) інтеґралів є заміна змінної (спосіб підстановки) і інтеґрування частинами. До ґрунтовного вивчення цих методів ми зараз і переходимо.

4.3. Інтеґрування підстановкою (заміна змінної)

Теорема 2. Нехай функції неперервні у відповідних інтервалах, а функція має неперервно диференційовну обернену функ-цію . В такому випадку є справедливою така формула (формула заміни змінної)

. ( 4 )

Формула передбачає повернення до попередньої змінної x після інтеґрування по змінній t. Слово “диференціювання” завжди означає обчислення диференціала.

■Перший спосіб доведення. Достатньо довести, що похідні лівої и правої частин формули (4) рівні. Маємо:

Другий спосіб доведення. Якщо - первісна функції , то функція є первісною функції , бо

.

Отже, на підставі означення невизначеного інтеґрала маємо

.■

Формула (4) часто-густо застосовується “справа наліво”, і в цьому випадку зручніше записати її в такому вигляді

. ( 5 )

Формулу (5) можна витлумачити таким чином: якщо підінтеґральна функція є добутком функції f від функції на похідну цієї останньої, то треба покласти .

В формулах (4), (5) замість t можна використовувати будь-яку іншу літеру (крім, звичайно, літери x).

Приклад 9. Довести справедливість формули 5а в таблиці найпростіших інтеґралів

Таким чином,

Приклад 10. Доведіть самостійно, що .

Приклад 11. Доведення справедливості формули 5а в таблиці найпростіших інтеґралів

Приклад 12. Обчислити невизначений інтеґрал

.

Підінтеґральна функція

є добутком функції від , а саме функції , на похідну функції (з точністю до сталого множника ), бо . На підставі формули (5) ми можемо покласти , або навіть краще

.

Припускаючи для визначеності, що , маємо . Отже,

.

Приклад 13. Обчислити невизначений інтеґрал

.

Підінтеґральна функція

є добутком функції від , а саме функції , на похідну функції (з точністю до сталого множника ), оскільки . Тому, поклавши

,

ми зводимо даний інтеґрал до табличного, а саме до інтеґрала № 12 (з ),

Приклад 14. Випадок, коли підінтеґральна функція є дріб, чисельник якого є похідною знаменника. Інтеґрал зводиться до табличного інтеґрала № 2, бо

( 6 )

Наведімо декілька прикладів застосування формули (6).

a) , ( 7 ) зокрема

( 7 a )

б)

.

в)

.

г) . ( 8 )

Приклад 15. Довести, що

( 9 )

■Нехай

.

Тоді

.

Приклад 16. Часто-густо доводиться мати справу з інтеґралами

, ( 10 )

які містять квадратний тричлен

.

Вони зводяться до суми двох інтеґралів - типу (8) або (9) і табличного – за допомоги заміни змінної

. ( 11 )

Після обчислення похідної і заміни змінної x на t маємо

де

- дискриминант квадратного трехчлена.

Наведімо два приклади застосування зазначеного методу.

a) Використовуючи заміну (11), формулу (8) і табличний інтеґрал № 13 (формулу високого логарифму), обчислимо інтеґрал

.

b) За допомоги формул (11), (9) і табличного інтеґрала № 12 отримуємо

Приклад 17. Щоб обчислити невизначений інтеґрал

,

покладімо

,

звідки за допомоги інтеґрала № 13 (формули високого логарифму)

.

Приклад 18. Для доведення табличної формули № 14 використаємо так звану підстановку Ейлера

,

за допомогою якої виразимо і квадратний корінь через t. Маємо