9.3. Невласні подвійні інтеґрали. Формула пуассона

Ми обмежимось невласними подвійними інтеґралами першого роду, тобто інтеґралами від неперервних функцій по нескінченних областяї. Як такі області ми розглянемо: перший квадрант

,

нескінченний прямокутник

Рис. 14 і площину .

.

Нехай R - перший квадрант, а - скінченний прямокутник з сторонами a і b (рис. 14). Ми означимо невласний інтеґрал по R наступною границею:

.

Як наслідок дістаємо формулу переходу від подвійного інтеґрала до повторного (формулу зміни порядку інтеґрування)

. ( 8 )

Невласний інтеґрал по нескінченному прямокутнику

(рис. 15) означається як границя інтеґрала по скінченному прямокутнику

,

Рис. 15 Рис. 16 якщо , а невласний інтеґрал по площині - як границя інтеґрала по тому ж скінченному прямокутнику (рис. 16) при , і одночасно . В результаті отримуємо наступні дві формули:

, ( 9 )

. ( 10 )

Приклад 6. Інтеґрал Пуассона

. ( 11 )

■

Проінтеґруємо останню рівність по y по інтервалу ,

.

Таким чином, ми довели, що

,

а отже

■

9.4. Подвійний інтеґрал в полярних координатах

Розглянемо подвійний інтеґрал

по області D площинии xOy і перейдемо до полярних координат

, ( 12 )

суміщаючи полюс O з початком координат , а полярну вісь - з додатною піввіссю осі Ox декартової системи координат. Область D перетворюється в деяку область площини , а даний інтеґрал – в подвійний інтеґрал по області .

Щоб побачити, як при цьому перетворюється елемент площі dS, утворимо елемент dD області D двома колами радіусів з центром в полюсі и двома променями, які виходять з полюса під кутами до полярної осі (див. рис. 17 a). Ми можемо розглядати dD як криволінійний прямокутник PQRT площі

.

Таким чином,

,

і формула переходу до полярних координат в подвійному інтеґралі може бути записана наступним чином:

. ( 13 )

В застосуваннях ми часто зу-стрічаємось з областю D, обмеже-ною двома променями

( 14 )

і двома лініями, які мають в поляр- Рис. 17 них координатах рівняння

( 15 )

(рис. 17 a). Можна описати таку область двома подвійними нерівностями

, ( 16 )

звідки випливає, що область Δ (рис. 17 b), в яку перетворюється область D після переходу до полярних координат, є областю першого типу. Тому на підставі формули (5)

. ( 17 )

Якщо лінія вироджується в полюс O, отримуємо криволінійний сектор D, обмежений двома променями

( 18 ) і лінією

Рис. 18 ( 19 )

(рис. 18 a). Ми визначаємо його нерівностями

, ( 20 )

звідки випливає, що область Δ (див. рис. 18 b) також є областю першого типу. Тому згідно з формулою (5)

. ( 21 )

Нехай область D містить полюс O, і кожний промінь перетинає границю області в єдиній точці (рис. 19 a). Якщо (19) – її полярне рівняння, то

( 22 ) Рис. 19 (рис. 19 b), и отже

. ( 23 )

Приклад 7. Знайти масу пластинки D, яка місти-ться між двоми кривими

для (рис. 20), якщо в кожній точці її поверхнева густина пропорційна по- Рис. 20 лярному радіусу OP цієї точки і дорівнює 8 в точці .

Поверхнева густина пластинки D дорівнює

і на підставі механічного сенсу подвійного інтеґрала (див. (3)) ми повинні обчислити подвійний інтеґрал

.

Доповнюючи до повних квадратів, ми бачимо, що криві - кола радіусів 2 и 4 з центрами відповідно:

.

Здійснюючи перехід (12) до полярних координат, отримуємо полярні рівняння ліній ,

,

і визначаємо область D двома подвійними нерівностями

.

Отже, за формулою (17)

.

Приклад 8. Знайти площу фігури, обмеже-ної лінією (лемніскатою Бернуллі, рис. 21) . Рис. 21 Ми раніше вивчали цю лінію. Її полярне рівняння

.

Згідно з формулою (2) можемо написати

,

де область D – заштрихований криволінійний сектор на рис. 21. Очевидно,

.

Отже, відповідно до формули (21) переходу до полярних координат (у випадку області D - криволінійного сектора) шукана площа дорівнює

В загальному випадку заміна змінних

,

в результаті якої область D площини xOy перетворюється в область площинии , справедливою є наступна формула

.

де

функціональний визначник, який звичайно називається якобіаном¹.

ЗМІСТ

ІНТЕҐРАЛЬНЕ ЧИСЛЕНННЯ 206