9.2. Обчислення подвійного інтеґрала в декартових координатах

Означення 3. Область D називається областю першого типу, якщо вона обмежена (див. рис. 6):

a) зліва - прямою ;

b) справа – прямою ;

c) снизу - лінією ;

d) зверху - лінією , Рис. 6 .

Подвійний інтеґрал по області першого типу обчислюється за формулою

. ( 5 )

У відповідності до неї ми спочатку інтеґруємо по y від до , тобто обчислюємо так званий внутріш-ній інтеґрал

, Рис. 7 а потім інтеґруємо результат по x від a до b.

■Ми доводитемо формулу (5), виходячи з механічного сенсу подвійного інтеґрала. Нехай підінтеґральна функція є поверхневою густиною пластинки, визначеної фігурою

(рис. 6). Отже, маса пластинки выражається подвійним інтеґралом

.

Знайдемо тепер масу з інших міркувань і порівняємо результати. Маса елементу пластинки між і (рис. 7) дорівнює

.

Підсумовючи всі такі маси від до , знаходимо масу заштрихованої смужки (рис. 7), тобто

.

Підсумовючи тепер маси всіх таких смужок від до , отримуємо масу всієї пластинки

.

Порівняння результатів знаходження маси доводить справедливість формули (5).■

Зауваження 1. Інтеґрал по x від a до b називається зовнішнім. Права частина формули (5) називається повторним інтеґралом.

Означення 4. Область D називається областю другого типу, якщо вона обмежена (див. рис. 8):

a) знизу - прямою ; b) зверху - прямою ;

c) зліва - лінією ; d) справа - лінією , .

Рис. 8 Подвійний інтеґрал по області D другого типу обчислюється за формулою

. ( 6 )

Спочатку ми обчислюємо внутрішній інтеґрал

,

інтеґрал по x від до , а потім інтеґруємо результат по y від c до d.

■Доведіть цю формулу самостійно.■

Приклад 1. Нехай областю інтеґрування є пря-мокутник

з сторонами, паралельними до осей Ox, Oy (рис. 9). Рис. 9 Такий прямокутник є областю обох типів, тому ми можемо застосувати обидві формули (5) і (6),

. ( 7 )

Формула (7) означає, що у випадку прямокутника ми можемо інтеґ-рувати в будь-якому порядку. Але на практиці один з порядків інтеґрування може виявитись кращим іншого.

Приклад 2. Знайти масу пластинки

(рис. 10)

з поверхневою густиною .

Будемо шукати масу за формулою (3). Об-ласть інтеґрування R – прямокутник з сторонами, паралельними координатним осям. Застосовуючи Рис. 10 формулу (7) для подвійного інтеґрала, отримуємо

.

Інший порядок інтеґрування набагато гірший (перевірте!).

Приклад 3. Обчислити двомя способами подвійной інтеґрал

,

якщо область інтеґрування D визначена нерівностями

(рис. 11). Вона є областю як першого, так і другого типів.

Перший спосіб. Трактуємо D як область першого типу, тобто таку, яка обмежена: а) зліва – прямою , б) справа Рис. 11 – прямою , в) знизу – лінією , зверху – лінією ,

.

Застосовючи формулу (5), маємо

Другий спосіб. Будемо тепер трактувати D як область другого типу, тобто обмежену: а) знизу – прямою , б) зверху – прямою , в) зліва – лінією , г) справа – лінією ,

.

Отже, за формулою (6) ми можемо записати

.

Проведіть обчислення самостійно.

Приклад 4. Розставити границі інтеґрування в подвійно-му інтеґралі по трикутній області D з вершинами

Рис.12 (рис. 12).

Скламо спочатку рівняння ліній OA і AB.

OA:

AB: .

Перший спосіб. Область D є областю першого типу, бо обмежена зліва – прямою x = 0, справа - прямою x = 5, знизу - лінією і зверху – лінією ,

.

Тому за формулою (5)

.

Другий спосіб. Щоб застосувати формулу (6), поділимо лінією y = 4 область D на дві частини другого типу (рис. 12). Якщо ми визначимо їх двома подвійними нерівностями, а саме

то будемо мати

Приклад 5. Обчислити подвійний інтеґрал

Рис. 13 по області

(рис. 13).

Очевидно, область D є областю першого типу. Прямою її можна поділити на дві області другого типу, причому

,

.

Шуканий інтеґрал дорівнює сумі двох інтеґралів. Зручно перший з них обчислювати по області D як області першого типу, а другий знайти як суму інтеґралів по областях и другого типу.

.