8.2. Невласні інтеґрали другого роду

Означення 6. Нехай функція неперервна на одній з таких множин: а) півінтервал з вилученим правим кінцем ; б) півінтервал з вилученим лівим кінцем ; в) об"єднання півінтервалів з вилученою внутрішньою точкою c. Названі точки b, a, c є точками розриву функції (здебільшого другого роду). Означають такі три невласні інтеґрали другого роду (інтеґрали від розривних функцій по скінченному інтервалі інтеґрування):

; ( 14 )

; ( 15 )

. ( 16 )

Поняття збіжності або розбіжності вводяться таким же чином, як і для невласних інтеґралів першого роду.

Означення 7. Головним значенням невласного інтеґрала (16) называє-ться така границя:

. ( 16 )

Приклад 11. Невласні інтеґрали другого роду

( 17 )

збігаються при і розбігаються при .

■Розглянемо для означеності перший інтеґрал .

a) Якщо , маємо

(розбіжність);

b) У випадку

(збіжність при і розбіжність при ).■

Приклад 12. Дослідити на збіжність невласний інтеґрал

(з точкою розриву другого роду ).

Подамо інтеґрал у вигляді

.

Перший інтеґрал – звичайний (власний), бо його підінтеґральна функція неперервна на відрізку , а другий – невласний і розбіжний . Отже, даний інтеґрал розбігається.

Приклад 13. Знайти головне значення розбіжного інтеґрала другого роду

.

На підставі означення 7

Приклад 14. Знайти площу нескінченної фігури, обмеже- Рис.7 ної лініями , , , (рис. 7).

.

Зауваження 3 (формула Ньютона-Лейбніца). Обчислення невласного інтеґрала другого роду, як і першого, можна подати у вигляді формули Ньютона-Лейбніца. Нехай, зокрема, функція неперервна на інтервалі , а для довільної її первісної покладено

.

Тоді

Приклад 15. .

Приклад 16. Для довільного додатного числа a

.

Зауваження 4 (заміна змінної і інтеґрування частинами). Як і при обчисленні невласних інтеґралів першого роду, ми можемо використовувати як заміну змінної, так і інтеґрування частинами.

Приклад 17. Інтеґрали (див. формулу (17)) можна заміною змінної привести до інтеґрала . Зокрема,

Приклад 18. За допомоги інтеґрування частинами дістаємо

8.3. Ознаки збіжності невласних інтеґралів

В багатьох питаннях, де мають справу з невласними інтеґралами, голов-ною проблемою є не знайти значення інтеґрала, а тільки встановити факт його збіжності або розбіжності. Цій меті послуговують так звані ознаки збіжності (або розбіжності), до вивчення яких ми приступаємо.

Ми встановимо низку відповідних ознак для невласного інтеґрала вигляду

,

але вони залишаються справедливими і для інтеґралів всіх інших розглянутих вище типів.

Теорема 1 (ознака порівняння для невід"ємних функцій). Нехай для неперервних на інтервалі невід"ємних функцій і достатньо великих значень x виконується нерівність

.

Якщо невласний інтеґрал функції по інтервалу збігається, то збігається і інтеґрал функції по цьому ж інтервалу. З іншого боку, якщо інтеґрал функції розбігається, то розбігається й інтеґрал функції .

■Припустимо, наприклад, що збігається інтеґрал функції , тобто

,

і, задля простоти, що вказана нерівність виконується для всіх . Звідси випливає, що для будь-яких b > a

і тому існує границя

.

Це означає, що інтеґрал функції збігається.■

Приклад 19. Невласний інтеґрал

на підставі теореми 1 збігається , оскільки при всіх x таких, що , виконує-ться нерівність

,

а інтеґрал

збігається (як інтеґрал типу (12) при ).

Приклад 20. Інтеґрал

за тією ж теоремою розбігається, бо для будь-якого

,

а інтеґрал

розбігається (як інтеґрал того ж типу (12) при ).

Приклад 21. Довесті збіжність інтеґрала

.

■Перепишемо інтеґрал у вигляді суми звичайного і двох невласних інтеґ-ралів

.

Невласті інтеґрали (перший і третій) збігаються за теоремою 1, бо

,

а інтеґрали

збігаються. Отже, і даний інтеґрал збігається.■

Приклад 22. Доведіть самостійно розбіжність інтеґрала

.

Вказівка. Взяти до уваги, що для всіх виконується нерівність

.

Приклад 23. Дослідити на збіжність невласний інтеґрал

.

Для довільного додатного x

,

і за теоремою 1 даний інтеґрал розбігається через розбіжність інтеґрала

.

Теорема 2. Нехай для неперервних на інтервалі функцій і достатньо великих x маємо

.

Якщо збігаються інтеґрали функцій і , то також збігається і інтеґрал функції .

■Справедливість теореми випливає з нерівності

і теореми 1.■

Теорема 3 (абсолютна збіжність невласного інтеґрала). Якщо для функції, неперервної на інтервалі , збігається інтеґрал

від її абсолютної величини, то інтеґрал від самої функції

також збігається і називається абсолютно збіжним.

■Доведення випливає з очевидної нерівності

і теореми 2.■

Приклад 24. Довести абсолютну збіжність невласного інтеґрала

.

Інтеґрал від абсолютної величини підінтеґральної функції збігається за теоремою 1, оскільки

,

а інтеґрал

збігається. Отже, даний інтеґрал абсолютно збігається.

Приклад 25. Дослідити самостійно на абсолютну збіжність наступні невласні інтеґрали:

, .