8. Невласні інтеґрали
8.1. Невласні інтеґрали першого роду
Означення 1.
Нехай функція
неперервна на нескінченному
інтервалі
.
Якща існує скінченна границя
,
( 6 )
ми кажемо, що наступний інтеґрал (невласний інтеґрал першого роду, інтеґ-рал з нескінченною верхньою межею)
( 7 )
збігається.
Таким чином, за означенням 1
.
( 8 )
Означення 2. Якщо границя (6) нескінченна або не існує, ми кажемо, що невласний інтеґрал (7) розбігається.
В такий же спосіб ми можемо означити ще два невласних інтеґрала першого роду.
Означення 3.
,
( 9 )
якщо
функція
неперервна
на інтервалі
.
Означення 4.
,
( 10 )
якщо функція неперервна на множині всіх дійсних чисел.
Невласний інтеґрал (9) називається збіжним, якщо скінченна границя в (9) існує, в противному разі - розбіжним. Те ж саме стосується к невласного інтеґ-рала (10).
Означення 5. Головним значенням (в розумінні Коші) невласного інтеґрала (10) называється наступна границя:
1.
( 11 )
Якщо невласний інтеґрал (10) збігається, то збігається й його головне значення. Але трапляються випадки, коли інтеґрал (10) розбігається, а в той же час його головне значення збігається.
Приклад 2. Невласні інтеґрали
( 12 )
збігаються
при
і розбігаються
при
.
■Розглянемо перший інтеґрал.
а) Якщо
,
ми можемо
покласти
де
,
і тому
,
тобто при інтеґрал збігається.
б) Нехай
В цьому
випадку інтеґрал
розбігається.
Дійсно,
.
в) Якщо
,
ми покладаємо
де
,
і тоді
.
Інтеґрал розбігається.■
Приклад 3. Довести, що невласний інтеґрал
розбігається, але його головне значення збігається (до нуля).
■На підставі формули (10)
Обидві
границі не існують,
і тому інтеґрал
розбігається. З
іншого боку, його
головне значення
на підставі формули
(11) дорівнює
,
тобто збігається до нуля.■
Приклад
4. Знайти площу
нескінченної фігури,
обмеженої кучерем
Аньєзі1
Рис. 6 і його асимптотою (рис. 6).
Пряма
(вісь Ox)
є горизонтальною
асимптотою кучеря
Аньєзі, бо
.
Фігура симетрична відносно осі , і тому її площа дорівнює
.
Зауваження 1. Нехай функція - якась з первісних функції . Вводячи позначення
,
ми можемо подати обчислення невласного інтеґрала (8) у вигляді формули Ньютона - Лейбніца, а саме:
Таким чином,
.
( 13 )
Таку ж саму формулу Ньютона-Лейбніца можна записати і для інших невласних інтеґралів.
Приклад 5.
.
Приклад 6.
.
Приклад 7.
аналогічно
(при
)
.
Зауваження 2 (заміна змінної і інтеґрування частинами в невласному інтеґралі першого роду). При обчисленні невласних інтеґралів першого роду ми можемо використовавати заміну змінної та інтеґрування частинами.
Приклад 8. Обчислити невласний інтеґрал
або встановити його розбіжність.
.
Інтеґрал
збігається до
.
Приклад 9.
Обчислимо той же інтеґрал іншим способом, застосовуючи тригономет-ричну підстановку.
Відзначимо, що заміна змінної привела тут невласний інтеґрал до звичайного (можна назвати його власним).
Приклад 10.
Поряд з невласними інтеґралами від неперервних функцій по нескінченним інтервалам інтеґрування (тобто невласними інтеґралами першого роду) розглядають інтеґрали по скінченним інтервалам інтеґрування, але від розривних функцій, так звані невласні інтеґрали другого роду.