6.4.1. Об"єм тіла з відомими площами паралельних поперечних перерізів

Нехай деяке тіло є заключеним між площинами , , і для будь- якого відома площа поперечного перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі Ox (див. рис. 16). В такому разі об"єм тіла до-рівнює інтеґралу

. ( 22 )

Рис. 16 ■ Елемент об"єму - це є об"єм прямого цилиндра з основою і висотою ,

.

Підсумовуючи всі ці елементи, дістаємо шуканий об"єм.■

Приклад 15. Знайти об"єм тривісного еліпсоїда

(рис. 17). Рис. 17 Очевидно, . Для будь-якого переріз тіла, перпендикулярний до осі Ox – еліпс

с півосями

и площею

.

Отже, об"єм эліпсоїда на підставі формули (22) дорівнює

.

Зауважимо, що при ми дістаємо об"єм кулі ,

.

6.4.2. Об"єм тіла обертання

Криволінійна трапеція

(див. рис. 1) обертається навколо осі . Довести, що об"єм відповідного тіла (тіла обертання, рис.18) виража-ється визначеним інтеґралом

Рис. 18 . ( 23 )

■Для довільного поперечний переріз тіла обертання площиною, перпендикулярною до осі Ox, - круг радіуса (рис. 18). Отже, його площа , і за формулою (22) об"єм тіла дається формулою (23).■

Нехай тепер та ж сама криволінійна трапеція

(рис. 1)

обертається навколо осі , причому остання не проходить через внутрішність трапеції¹. Довести, що об"єм тіла її обертання визначається наступним інтеґра-лом:

. ( 24 )

Вказівка. За елемент об"єму можна взяти об"єм частини тіла, утвореної обертанням навколо осі прямокутника з сторонами і . Тоді елемент об"єму дорівнює

,

звідки випливає формула (24).

Приклад 16. Нехай дуга синусоїди

обертається навколо осей Ox і Oy. Знайти об"єми видповідних тіл обертання.

За допомоги формул (23), (24) отримуємо

.

.

Розгляньмо тепер криволінійну трапецію

,

орієнтовану відносно осі (див. рис. 6), і нехай вона обертається навколо осі . Доведіть, що об"єм відповідного тіла обертання дається інтеґралом, цілком аналогічним інтеґралу (23),

. ( 25 )

Приклад 17. Еліпс з півосями обертається навколо осі Ox, а потім навколо осі Oy. Знайти об"єми відповідних тіл обертання.

З канонічного рівняння еліпса маємо

,

і за формулами (23), (25) отримуємо

6.5. Деякі економічні застосування

Приклад 18. Нехай продуктивність праці підприємства визначається функцією

,

причому . Тоді кількість виготовленої ним продукції протягом про-міжка часу на підставі формули (2) дорівнює

.

Приклад 19 (вартість зберігання товару). Нехай - кількість товару на складі в момент часу t, а стала величина h – ціна зберігання одиниці товару про-тягом одиниці часу. Тоді вартість зберігання товару протягом проміжка часу (елемент вартості зберігання) дорівнює

,

а вартість зберігання всього товару протягом інтервалу часу дорівнює

.

Нехай, наприклад, - початкова кількість товару, який рівномірно і повністю витрачається протягом часу . Тоді кількість товару в момент часу t дорівнює

,

а загальна вартість зберігання товару дорівнює

.