6.3. Довжина дуги кривої
Нехай ˘ - дуга деякої кривої, довжину якої треба знайти.
П
ерший
метод. Поділимо дугу ˘AB
на n частин
точками
і
впишемо ламану
лінію
в ˘AB (рис. 15). Нехай
Fig. 15
(
12 )
- периметр
ламаної і
.
Якщо існує границя
,
( 13 )
вона називається довжиною дуги ˘AB.
Припустимо, що дуга ˘ кривої визначена в декартових координатах рівнянням
( 14 )
на
відрізку
,
- координати довільної
точки
,
кривої і
.
В цьому випадку
,
і
на підставі теореми
Лаґранжа
існує точка
така, що
.
Позначивши
,
отримуємо
,
і тому
.
Перехід
до границі при
дає значення
довжини дуги у
вигляді
визначеного інтеґрала
від a
до b,
.
( 15 )
Довжина L дуги існує, якщо функція неперервна зі своєю першою похідною на відрізку .
Другий метод. Знайдімо
спочатку елемент
(диференціал)
шуканої
довжини дуги, а потім
саму довжину дуги як
суму всіх елементів.
За теоремою
Піфагора
и
.
( 16 )
Для дуги ˘ , визначеної рівнянням (14),
,
і сума всіх елементів від a до b приводить до тієї ж формули (15).
Якщо дуга ˘ кривої визначена параметричими рівняннями
,
( 17 )
ми з (16) маємо
,
а тому
.
( 18 )
Якщо дугу ˘ задано в полярних координатах рівнянням
,
( 19 )
ми переходимо до її параметричних рівнянь
( 20 )
і застосовуємо формулу (18). Оскільки
,
формула (18) дає
.
( 21 )
Приклад 10. Знайти
довжину дуги кривої
для
.
На підставі формули (15) маємо
Приклад 11. Знайти довжину петлі кривої
(див. приклад і рис. 11 вище).
За формулою (18)
.
Приклад 12. Знайти довжину кардиоїди (див. рис. 13).
За допомоги формули (21) отримуємо
.
Приклад 13. Знайти довжину еліпса
.
Параметричні
рівняння
еліпса
і
згідно з формулою (18)
.
Інтеґрал
може бути
знайдений
в скінченному вигляді
для деяких значень
a і
b, наприклад,
якщо
,
тобто якщо еліпс вироджується в коло.
В загальному випадку ми
можемо знайти
тільки
наближені значення
L для конкретних
значень a
і b,
оскільки первісна
підінтеґральної
функції, как відомо
з більш ґрунтовних курсів
математичного анализу, не виражається
через елементарні
функції.
Приклад 14. Довести, що довжину лемніскати Бернуллі
(рис. 14) можна представити наступним інтеґралом:
.
Тут первісна підінтеґральної функції також не виражається в елементарних функціях.
6.4. ОБ"ЄМИ