6. Застосування визначеного інтеґрала

6.1. Дві схеми застосування визначеного интеґрала

Розглядають дві схеми застосування визначеного інтеґрала для знаход-ження деякої величини Q.

1) Складання інтеґральної суми і подання Q як границі інтеґральної суми, тобто у вигляді визначеного інтеґрала.

Приклад 1. Як приклад див. три задачі в п. 5.1 і відповідні формули (10), (11), (12) в п. 5.2.

2) Відшукання елементу (фактично диференціала) dQ величини Q і подання Q як суми всіх цих элементів. Така процедура іншим шляхом веде до визначеного інтеґрала для знаходження Q.

Для ілюстрації другої схеми ми розглянемо ті ж самі задачі, що і пп. 5.1, 5.2.

Приклад 2. Площа криволінійної трапеції першого типу

(рис. 1).

Елемент (диференціал) dS площі S (площа зашт-рихованої смужки з основою на рис.1) дорівнює

. Рис. 1 Підсумовуючи всі ці елементи від a до b, отримуємо шукану площу как вже відомой визначений інтеґрал

( 1 )

Приклад 3. Кількість U продукції, виготовленої підприємством протягом інтервалу часу 0, T.

Нехай - продуктивність праці в довільний момент часу . Елемент кількості продукції, виготовленої протягом нескінченно малого інтервалу часу , дорівнює

.

Беручи сумі всіх цих елементів від 0 до T, ми отримуємо шукану кількість продукції U, а саме:

( 2 )

Приклад 4. Довжина L шляху, пройденого матеріальною точкою протягом проміжку часу від t = 0 до t = T з швидкістю .

Елемент dL шляху, пройденого протягом нескінченно малого проміжку часу , дорівнює

,

а сума всіх цих элементів від 0 до T дає шукану довжину шляху L

. ( 3 )

Звичайно, результати (1), (2), (3) збігаються з результатами (10), (11), (12), які було отримано в п. 5.2.

6.2. Площі плоских фігур: доповнення

а) Випадок недодатної функції. Площа фігури

,

яку зображено на рис. 2, дорівнює

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

. ( 4 )

б) Випадок, коли функція має різні знаки на різних інтервалах. Нехай функція невід"ємна на інтервалі і недодатна на інтервалі . Площа відповідної фігури, зображеної на рис. 3, дорівнює

. ( 5 )

в) Випадок, коли фігура міститься між двома кривими. Площа фігури

,

зображеної на рис. 4, дорівнює

. ( 6 )

Приклад 5. Знайти площу фігури, заключеної між двома лініями (рис. 5).

Точки перетину кривих мають абсциси . Фігура симетрична відносно осі Oy; ми можемо знайти подвоєну площу її правої частини.

Рис. 5 .

г) Фігури, ориєнтовані відносно осі Oy. Площі фігур

(рис. 6),

(рис. 7),

(рис. 8),

(рис. 9)

відповідно дорівнюють

, ( 7 )

, ( 8 )

, ( 9 )

. ( 10 )

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Приклад 6. Знайти площу фігури, обмеженоої лініями , (рис. 10).

Запишемо рівняння кривих у вигляді

і застосуємо формулу (10). З огляду на симетричність фігури відносно осі Ox Рис. 10 знайдемо подвоєну площу її верхньої частини,

.

д) Випадок кривої, заданої параметрично.

Нехай, наприклад, дано криволінійну трапецію

, (рис. 1),

але криву задано параметричними рівняннями

( для і для )

Для знаходження площі такої кривілінейної трапеції ми замінимо змінну в формулі (1), а саме:

.

Приклад 7. Знайти площу петлі лінії (рис. 11).

Щоб побудувати криву за точками і побичити петлю, ми прирівняємо до нуля вирази

Рис. 11 , і складемо таблицю

t	-2	-	-1	0	1		2
x	4	3	1	0	1	3	4
y		0	-	0		0	-
Point	A	B	C	O	D	E	F

З рис. 11 ми бачимо, що , а тому

.

е) Площа в полярних координатах.

Нехай задано криволінійний сектор (або криволінійний трикутник), тобто плоска фігура, обмежена двома променями і кривою , заданою в полярних координатах рівнянням (рис. 12).

Треба отримати формулу для знаходження площі криволінійного сектора.

Елементом площі тут є площа заштрихованого криволінійного сектора з радіусом і цент-ральним кутом ,

. Рис. 12 Додаючи всі ці елементи від до , дістаємо шукану формулу

( 11 )

Приклад 8. Знайти площу фігури, обмеженої кардиоїдою (рис. 13).

Шукана площа дорівнює подвоєній площі верхньої Рис. 13 частини фігури, яка є криволінійним сектором, обмеженим кардиоїдою і променями . За формулою (11)

.

Приклад 9. Знайти площу фігури, обмеже-ної лемніскатою Бернуллі

(рис. 14).

Фігура симетрична відносно координат- Рис. 14 них осей і знаходиться всередині кута, визначеного бісектрисами координатних кутів (рис. 14).

Переходячи до полярних координат , ми переписаємо рівняння лемніскати у вигляді

.

Пісня цього ми знаходимо почетверену площу криволінійного сектора, обмеже-ного лемніскатою і променями . Дістаємо

.