0

Невизначений інтеґрал

Частина друга: інтеґральне числення. Диференціальні рівняння. Ряди

ІНТЕҐРАЛЬНЕ ЧИСЛЕНННЯ

4. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕҐРАЛ

4.1. ПЕРВІСНА

4.1.1. Означення первісної

Головна задача диференціального числення – знайти похідну або диференціал

даної функції .

Головна задача інтеґрального числення – обернена: знайти функцію , знаючи її похідну або диференціал

.

Приклад 1. Скласти рівняння лінії, яка проходить через точку , знаючи, що кутовий коефіциієнт дотичної до лінії в довільній її точці дорівнює .

Нехай - шукане рівняння лінії. На підставі умови і геометричного сенсу похідної можемо записати

.

Ми повинні знайти функцію , знаючи її похідну .

Очевидно, що

,

де C – деяка стала. Ми можемо знайти її значення з умови , звідки

.

Отже, лінія, про яку йдеться в прикладі, має рівняння

.

Означення 1. Функція називається первісною функції на дея-кому інтервалі , якщо для будь-якого похідна функції дорівнює ,

( 1 )

Приклад 2. Функція з попереднього прикладу є первісною функції , а функції

- первісними функції на множині всіх дійсних чисел , бо для довільного маємо

.

Теорема 1 (існування первісної). Якщо функція неперервна на інтервалі , то вона має первісну на цьому інтервалі.

Справедливість теореми буде доведено пізніше.

4.1.2. Властивості первісної

1. Якщо функція є первісною для функції , то для будь-якої сталої C сума також є первісною.

■Дійсно, якщо , то для будь-якої сталої C маємо

,

тобто - первісна функції ■

2. Якщо функції є первісними функції на інтервалі , то вони відрізняються тільки сталим доданком, тобто їх різниця є сталою на ,

const.

■За умови , і тому тотожньо на

.

На підставі наслідку з теореми Лаґранжа різниця є сталою на інтервалі .■

Остання властивість дозволяє отримати загальну форму первісної даної функції : будь-яку первісну можна подати у вигляді суми

, ( 2 )

де - якась одна з первісних функції , а C – довільна стала.

Можна сказати, рівність (2) дає множину всіх первісних функції .

4.2. Невизначений інтеґрал

4.2.1. Означення невизначеного інтеґрала

Означення 2. Множина всіх первісних функції називається невизначеним інтеґралом цієї функції і позначається символом

.

Символ ∫ називається знаком невизначеного інтеґрала; - підінтеґральною функцією, - підінтеґральним виразом, x – змінною інтеґрування, C – сталою інтеґрування.

На підставі означення 2 і формули (2) ми можемо написати

, ( 3 )

де - якась одна з первісних функції , а C – довільна стала.

Приклад 3. Ми вже знаємо, що функція є однією з первісних функції , а тому

.

Взагалі, для довільного дійсного числа , відмінного від , функція

однією з первісних степеневої функції

,

отже

.

Зокрема, при маємо

.

У випадку ми маємо функцію , однією з первісних якої є функція , так що

.

Знаходження первісної (або невизначеного інтеґрала) функції називається її інтеґруванням.

Проінтеґрувати функцію означаеє знайти її первісну (або її невизначений інтеґрал).

На підставі означення невизначеного інтеґрала і таблиці похідних ми можемо утворити таблицю найпростіших інтеґралів.

Таблиця найпростіших інтеґралів

1. ;

1 а) ; 1 б) ; 1 в) .

2. .

3. ; 3 a) , k - стала.

4. ; 4 а) , k - стала.

5. ; 5 a) , a - стала.

6. ; 6 a) , a - стала.

7. . 8. .

9. 10.

11. . 12. .

13. (формула високого логарифму).

14. (формула довгого логарифму).

Формули 1 – 9, 11 є очевидними, в справедливості інших, зокрема формул 13, 14, ми впевнимось нижче, але корисно записати їх в таблиці з самого початку. Всі інтеґрали таблиці будемо називати табличними.

Приєднаємо сюди ще чотири формули, які часто-густо зустрічаються в застосуваннях, а саме:

15. .

16. .

17. .

18. .