1.2. Основні поняття теорії множин

Рівність множин, включення множин, універсальна і порожня множини, степінь множини

Розглянемо поняття рівності множини.

Визначення

Дві множини рівні, якщо вони містять однаковий набір елементів. Позначається А = В. Якщо множини не рівні, це позначається А  В. Число елементів скінченної множини А позначимо через |А|.

Для множин А і В з нескінченним або великим числом елементів перевірка збігу наборів всіх елементів може бути важкою. Більш ефективною виявляється логічна перевірка двостороннього включення. А саме, А = В тоді і тільки тоді, коли з х  А виходить х  В і з у  В виходить у  А.

Розглянемо приклад.

Приклад. Нехай задані множини

А ={1, 2, 3, 4, 5};

В — множина натуральних чисел від 1 до 5;

С = {с|1  с  5, с  N};

D = {4, 1, 5, 2, 3}.

Ці множини містять один набір елементів, тому А = В = C = D.

При заданні множин можуть бути неточності або збитковості, які необхідно усувати. Розглянемо приклади.

Приклад. Розглянемо множину А залишків, що одержуються при послідовному діленні натуральних чисел {3, 4, 5, 6, ...} на 3: А = {0, 1,2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, ...}. Ця множина містить всього три елементи: 0, 1, 2. Тому її можна записати у вигляді А = {0, 1, 2}.

Приклад. Нехай В — множина всіх видів шахових фігур, а С — множина всіх шахових фігур, що беруть участь в одній грі. Тоді |В| = 6 (пішак, тура, слон, кінь, ферзь, король), а |С| = 32 (16 білих і 16 чорних).

Визначення

Множина А, всі елементи якої належать множині В, називається підмножиною множини В.

Множини

Позначення. Нестроге включення позначається А  В, означає, що А — підмножина множини В, що, можливо, співпадає з В. Строге включення позначається А  В і означає, що А — підмножина множини В, що не співпадає з В. Символьний вираз А  В читають «А включено до В».

Виконання співвідношень A  В і В  А можливе тільки при А= В. І зворотно, А = В, якщо А  В і В  А водночас. Зауважимо, що іноді в літературі символом  позначають «нестроге» включення, що допускає і рівність множин. У цьому випадку символ  не використовується, а строге включення записують двома співвідношеннями А  В, А  В.

Приклад. Для множини додатних чисел R₊ використовується знак строгого включення відносно множини дійсних чисел: R₊  R.

Приклад. Позначимо множину учнів деякого класу через X, множину відмінників у цьому класі — через Y. Тоді Y  X, оскільки множина відмінників у класі включена до множини учнів цього класу і теоретично може дорівнювати їй.

Визначення

Універсальною називається множина, яка містить всі можливі елементи, що зустрічаються в даній задачі. Універсальна множина позначається символом U.

Зауважимо, що універсальна множина U може бути індивідуальною для кожної окремої задачі і визначається в її умові.

Приклад. Розглянемо деяку групу студентів. Нехай А — множина юнаків групи, В — множина відмінників. У цій задачі універсальною є множина студентів групи, а множини А і В є її підмножинами: A  U, В  U.

Визначення

Порожньою називається така множина, яка не містить ніяких елементів. Така множина позначається спеціальним символом .

Роль порожньої множини  аналогічна ролі числа нуль. Це поняття можна використовувати для визначення насправді неіснуючої сукупності елементів (наприклад, множини зелених слонів). Більш істотним мотивом введення порожньої множини є те, що заздалегідь не завжди відомо (або невідомо зовсім), чи існують елементи, які задовольнять характеристичну властивість кожної множини. Наприклад, множина виграшів у наступному тиражі спортлото на куплені квитки може виявитися порожньою. Порожня множина  є підмножиною будь-якої множини А,   А. Слід пам'ятати, що порожня множина є множиною, тому якщо деяка множина А не містить жодного елемента, то А = ; |А| = 0. Запис А = {} означає, що А містить один елемент — , |А| = 1.

Таким чином, будь-яка непорожня множина А обов'язково має, як мінімум, дві підмножини — порожню множину і саму цю множину.

Визначення

Множину всіх підмножин множини X назвемо множиною-степенем, або булеаном множини X, і позначимо 2^х.

Приклад. Нехай задана множина А = {а, b, с}. Система всіх її підмножин є

2^А = {, {а}, {b}, {с}, {а, b), {b, с), {а, с), {а, b, с}},

так що 2^а містить 8 елементів.

Порожня множина має тільки одну підмножину — саму порожню множину, тому 2^ = {}. Для довільної множини X з п елементів кількість всіх її підмножин (тобто |2^Х|) дорівнює 2ⁿ:

|2^X| = 2^|X| = 2ⁿ.

Запитання

1. Які множини вважаються рівними?

2. Чи можуть два елементи однієї множини бути однаковими?

3. Визначте поняття підмножини і включення множин.

4. Наведіть приклади множин А і В для випадків А  В і А  В.

5. Чим відрізняється строге включення від нестрогого? Наведіть приклад.

6. Як визначається рівність множин через поняття нестрогого включення?

7. Яка множина називається універсальною?

8. Яка множина називається порожньою?

9. Запишіть відношення включення між універсальною множиною U, довільною її підмножиною А і множиною .

10. Як позначається множина всіх підмножин деякої множини? Скільки елементів вона містить?

Завдання

1. Визначте, які з наведених тверджень справедливі:

   1. |{}| = 1;

   2. {{}}  {{{}}};

   3. |{{}}| = 2;

   4. x  {x};

   5. {x}  {x};

   6. {x}  {x};

   7. {x}  {{x}}.

2. Скільки елементів містять такі множини:

   1. {x};

   2. {{x}};

   3. {x, {x}};

   4. {{x}, x, {{x, {x}}}}.

3. Які з наведених тверджень правильні? Доведіть

   1. якщо А  В і В  С, то А  С;

   2. якщо А  В і В  А, то А = В;

   3. якщо А  В і В  С, то А  С.

4. Дана множина D = {7, 13, 25, 34, 101, 112}. Які з наведених множин є підмножинами множини D?

а) {1, 7, 13};

б) {0, 1, 12};

в) {25, 112, 34};

г) {а, b, с, n};

д) {7, 13, 25, 34, 101, 112}.

e) .

5. Визначте, які з наведених множин дорівнюють одна одній:

а) А = {х | існує у такий, що х = 2y, у  N};

б) С = {1, 2, 3};

в) D = {0, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...};

г) E = {2х | х  Z}.

6. Побудуйте 2^а для множини А, якщо:

а) А = {{}};

б) А= {1, 2, 3, 4};

в) А = {«день», «ніч»};

г) А = {1, {2, 3}, 4}.

7. Скільки підмножин містить:

а) множина днів тижня;

б) множина місяців року.

8. Нехай задані множини S_n-1 і S_n, такі, що S_n-1 = {а₀, а₁ ..., а_n-1}, S_n = {а₀, а₁ ..., а_n}. Поясніть, як одержати з множини множину .

9. Складіть алгоритм, який як вхідні дані одержує дві множини і визначає, чи рівні ці множини, чи є одна з них підмножиною другої.

10. Складіть алгоритм, який як вхідні дані одержує множину і конструює список всіх можливих підмножин даної множини.