1.7. Ортогональное дополнение

Вектор ортогонален подпространству тогда и только тогда, когда он ортогонален каждому вектору из подпространства . В этом случае будем писать .

□ Теорема 1.20. Вектор ортогонален линейной оболочке тогда и только тогда, когда он ортогонален каждому вектору системы .

Необходимость. Если , то вектор ортогонален каждому вектору подпространства и, в частности, ортогонален вектору .

Достаточность. Дано, что . Пусть произвольный вектор из линейной оболочки . Тогда . Теперь найдем скалярное произведение векторов . Отсюда следует, что вектор ортогонален подпространству L. ■

Следствие. Вектор ортогонален подпространству тогда и только тогда, когда он ортогонален каждому вектору базиса подпространства . Действительно, каждое подпространство является линейной оболочкой своего базиса (теорема 1.10).

Пусть – подпространство пространства . Обозначим символом множество всех векторов пространства , которые ортогональны , т. е.

.

Множество называется ортогональным дополнением подпространства .

Теорема 1.21. Ортогональное дополнение подпространства является подпространством.

Доказательство. Пусть и произвольный вектор из подпространства L. Тогда и . Отсюда

, (24)

. (25)

Из равенств (24) и (25) вытекает, что векторы и ортогональны подпространству , т. е. и . ■

Теоремы 1.22 и 1.24 будут посвящены заданию подпространства .

□ Теорема 1.22. Ортогональное дополнение подпространства совпадает с множеством решений системы линейных уравнений

(26)

Доказательство. Обозначим подпространство решений системы уравнений (26) и докажем совпадение подпространств и . Имеем следующую цепочку равносильных утверждений:

решение системы уравнений (26)

Итак, , т. е. . ■

В следующей теореме приведены основные свойства ортогонального дополнения подпространства.

□ Теорема 1.23. Пусть – подпространство пространства . Тогда справедливы следующие утверждения:

1.

2. .

3. .

Доказательство

1. Пусть базис подпространства L. Тогда и . Теперь из теоремы 1.22 имеем

. (27) Отсюда .

Итак, .

2. Покажем сначала, что . Если , то и . Отсюда и, значит, .

Теперь установим, что . Ясно, что и, значит, достаточно показать, что (теорема 1.19). Имеем следующую цепочку равенств:

.

3. Пусть – базис подпространства . Тогда и

. (28)

Обозначим через фундаментальный набор решений системы уравнений (28). Так как базис подпространства , то . Теперь из теоремы 1.22 получаем, что

. (29)

С другой стороны, из теоремы 1.11 следует, что

. (30)

Из соотношений (29) и (30) вытекает, что L = ( )^{^}. ■

Cформулируем и докажем еще одну теорему, посвященную заданию подпространства

□ Теорема 1.24. Если подпространство L задано системой уравнений

L: (31)

то .

Доказательство. Рассмотрим подпространство и покажем, что . Из теоремы 1.22 следует, что

(32)

Из соотношений (31) и (32) вытекает равенство . Если равны два подпространства, то их ортогональные дополнения совпадают. Следовательно, . Так как (теорема 1.23), то . Отсюда получаем, что . ■

Задачи

1. Доказать, что нулевой вектор является единственным вектором из подпространства L, который ортогонален L.

2. Выяснить, ортогонален ли вектор линейной оболочке системы векторов (2,1,1,−1), (1,0,2,1), (2,1,3,−1):

а) = (1,1,1,4);

б) = (1,−3,0,1).

3. Выяснить, ортогонален ли вектор подпространству решений системы линейных уравнений

а) =(1,−4,−1,−2);

б) =(3,2,1,−1).

4. Выяснить, принадлежит ли вектор ортогональному дополнению подпространства решений системы уравнений

а) = (1,1,–1,1);

б) = (2,3,2,3).

5. Подпространство L задано линейной оболочкой: L= , где =(2,1,4,−2), =(2,−1,−4,4), =(6,−1,−4,6). Найти базис ортогонального дополнения

6. Дано подпространство L пространства . Доказать следующие утверждения:

7. Доказать, что если подпространство L задано системой уравнений

и ее фундаментальный набор решений, то подпространство L^┴ задается следующей системой линейных уравнений:

8. Дано подпространство L пространства , задано системой уравнений

и − фундаментальный набор решений этой системы уравнений. Доказать, что подпространство L задается системой уравнений

9. Подпространство L задано системой уравнений

Задать подпространство :

а) линейной оболочкой векторов;

б) системой однородных уравнений.