1.6. Действия над подпространствами Пересечение подпространств

Пусть даны подпространства и векторного пространства . Совокупность всех векторов пространства , которые принадлежат и , и , называется пересечением подпространств и , т. е.

.

□ Теорема 1.13. Пересечение подпространств и пространства является подпространством.

Доказательство. Пусть и – произвольные векторы из множества . Из определения пересечения подпространств вытекает, что и . Отсюда и из определения подпространства вытекает

, , (5)

, . (6)

Теперь из равенств (5)–(6) получаем, что , , т. е. – подпространство пространства . ■

Чтобы найти пересечение подпространств и достаточно задать подпространство в виде линейной оболочки системы векторов или в виде множества решений однородной системы уравнений.

□ Теорема 1.14. Если подпространства и заданы в виде множества решений системы линейных уравнений

, ,

то подпространство совпадает множеством решений системы уравнений

Доказательство. Действительно,

Û Û

− решение системы уравнений ■

Пример

Даны линейная оболочка и подпространство решений системы линейных уравнений . Доказать, что пересечение

,

где матрица, столбцами которой являются координаты векторов системы , система векторов фундаментальный набор решений системы уравнений

Решение вытекает из следующей цепочки равносильных утверждений:

В дальнейшем изучении курса полезно будет знать, когда пересечение подпространств совпадает с нулевым подпространством.

□ Теорема 1.15. Даны подпространства и – базис , – базис . Пересечение подпространств и совпадает с нулевым подпространством тогда и только тогда, когда объединение базисов , подпространств и является линейно независимой системой векторов.

Необходимость. Дано, что . Докажем линейную независимость системы векторов , . Пусть

(7)

произвольное разложение вектора по системе векторов , . Рассмотрим вектор

(8)

Вектор  разлагается по базису подпространства и, значит, . С другой стороны, из равенств (7) и (8) следует, что

. (9)

Из равенства (9) вытекает, что вектор разлагается по базису подпространства , а поэтому вектор . Итак, вектор и, значит, . Отсюда и из равенств (8) и (9) получаем

(10)

(11)

Теперь из линейной независимости систем векторов и , равенств (10) и (11) вытекает .

Этим доказана линейная независимость системы векторов .

Достаточность. Дано – линейно независимая система векторов. Покажем, что . Пусть − произвольный вектор из подпространства . Тогда вектор , , а поэтому вектор разлагается как по базису подпространства , так и по базису подпространства , т. е.

(12)

(13)

Из равенств (12) и (13) вытекает, что (14)

Теперь из линейной независимости системы векторов и равенства (14) получаем . Отсюда из равенства (12) следует, что . Этим установлено, что . ■

Следствие. Даны линейно независимые системы векторов и . Пересечение линейных оболочек и равно нулевому подпространству тогда и только тогда, когда , – линейно независимая система векторов.

Доказательство. Утверждение следствия вытекает из теоремы 1.15, так как и – базисы соответственно подпространств и