1.5. Представление подпространств
Линейная оболочка и множества решений однородных систем линейных уравнений – подпространства пространства . Верно ли обратное, т. е. каждое ли подпространство является линейной оболочкой некоторой системы векторов или совпадает с множеством решений однородных систем линейных уравнений?
□ Теорема 1.10. Каждое ненулевое подпространство L является линейной оболочкой своего базиса.
Доказательство
Пусть
− базис подпространства L.
Так как
− базис линейной оболочки
(теорема 1.6), то подпространства L
и
обладают общим базисом и, значит,
совпадают (следствие из теоремы 1.1). ■
Теперь естественно выяснить, а каждое ли подпространство пространства совпадает с множеством решений однородной системы линейных уравнений? Утвердительный ответ на этот вопрос будет вытекать из следующей теоремы.
□ Теорема
1.11. Дана
линейная оболочка
.
Обозначим через
фундаментальный набор решений системы
линейных уравнений
(2)
тогда линейная оболочка L совпадает с множеством всех решений системы линейных уравнений
(3)
т. е. каждую линейную оболочку можно задать однородной системой линейных уравнений.
Доказательство
Обозначим через подпространство решений системы уравнений (3). Для доказательства теоремы достаточно установить совпадение подпространств L и .
Сначала
покажем, что подпространство
.
Для этого достаточно проверить, что
при любом
(следствие из теоремы 1.2). Так как векторы
решения системы уравнений (2), то они, в
частности, являются решениями уравнения
,
и, значит,
(4)
Равенства
(4) показывают, что вектор
является решением системы уравнений
(3), т. е.
при любом
.
Теперь, ввиду теоремы 1.9, для совпадения
подпространств L
и
достаточно установить равенство
размерностей этих подпространств.
Отметим, что
.
Ранги матриц соответственно систем
уравнений (2) и (3) равны рангам систем
строк этих матриц, т. е. равны соответственно
и
.
Система векторов
фундаментальный набор решений системы
уравнений (2). Следовательно,
Наконец,
,
т.
е.
.
■
□ Теорема 1.12. Пусть L – подмножество пространства . Тогда следующие утверждения равносильны:
1) L подпространство пространства ;
2) L – линейная оболочка системы векторов;
3) L множество решений однородной системы линейных уравнений.
Доказательство
1) 2). Вытекает из теоремы 1.10.
2) 3). Установлено в теореме 1.11.
3) 1). Следует из свойств решений однородной системы линейных уравнений. ■
Задачи
1. Подпространство L задано однородной системой линейных уравнений. Найти систему векторов, линейная оболочка которой совпадает с L:
а)
;
б)
2. Найти систему линейных уравнений, множество решений которой совпадает с подпространством L:
а)
,
где
.
б)
,
где
,
.