Размерность подпространства
Все
базисы подпространства L
состоят
из одного и того же числа векторов.
Действительно,
пусть
и
– два базиса подпространства L.
Тогда каждая из этих систем векторов
является базисом системы векторов
.
Теперь из теоремы 2.15 [1] следует, что
Размерностью подпространства называется число векторов в любом его базисе. Если размерность подпространства L равна k, то будем писать: dim L=k.
Примеры
1.
Из теоремы 1.5 вытекает, что
.
2.
,
так как левая и правая части равны
количеству векторов в базисе системы
(теорема 1.6).
3.
Из теоремы 1.7 следует, что размерность
подпространства решений однородной
системы уравнений
равна
где n
– число неизвестных в системе уравнений,
–
ранг матрицы А.
□ Теорема
1.8.
Дано подпространство L,
размерность которого равна k,
и система векторов
из L,
содержащая столько векторов, какова
размерность L.
Тогда следующие утверждения равносильны:
1) базис подпространства L;
2) каждый вектор подпространства L разлагается по системе векторов ;
3) система векторов линейно независимая.
Доказательство
1)
2).
Вытекает из определения базиса
подпространства.
2)
3).
Доказательство от противного.
Предположим, что система векторов
линейно зависима и
− базис этой системы. Тогда
.
Из условия 2 утверждения 5 §1
[1] следует, что каждый вектор из L
разлагается по векторам
и, значит,
− базис подпространства L.
Следовательно,
,
что противоречит условию теоремы.
3)
1).
Доказательство от противного. Если
линейно независимая система векторов
не является базисом L,
то ее можно дополнить до базиса
подпространства L
(теорема
1.3). Следовательно,
что противоречит условию теоремы. ■
Пример
Выяснить,
образуют ли векторы
,
базис подпространства
решений системы линейных уравнений
Решение.
Прежде всего
надо проверить, что векторы
и
являются решениями системы уравнений.
После подстановки координат векторов
в систему вместо неизвестных получим
верные числовые равенства. Координаты
векторов
и
не пропорциональны и, значит, они образуют
линейно независимую систему. Размерность
подпространства
равна
,
где
основная
матрица системы уравнений,
число
неизвестных в системе уравнений. Ранг
матрицы
равен двум,
,
а поэтому
.
Теперь из теоремы 1.8 следует, что векторы
будут базисом подпространства
.
Весьма часто необходимо знать, когда два подпространства, из которых одно содержится в другом, совпадают.
□ Теорема
1.9. Пусть
и
подпространства пространства
и
.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1.
.
2. = = .
Доказательство
1.
Пусть
− базис подпространства
и, значит, линейно независимая система
векторов. Из условия
вытекает, что векторы
принадлежат подпространству
,
а, следовательно, линейно независимую
систему векторов
можно дополнить до базиса
.
Отсюда следует, что dim
L
≤ dim
L
.
2.
Необходимость.
Пусть dim
L
=
dim
L
=
k
и
− базис подпространства
.
Из условия
следует, что линейно независимые векторы
принадлежат
,
и система
содержит столько векторов, какова
размерность подпространства
.
Из теоремы 1.8 вытекает, что система
векторов
− базис
.
Итак,
и
обладают общим базисом и, значит,
(следствие из теоремы 1.2).
Достаточность.
Если
,
то они имеют общий базис и dim
L
dim
L
.
■
Следствие. Если − подпространство пространства , то справедливы следующие утверждения:
1.
;
2.
.
Доказательство
Заметим,
что
и n
dim
.
Теперь следствие есть частный случай
теоремы, когда
и
.
Задачи
1.
Подпространство
имеет размерность
.
Доказать, что ранг системы векторов
,
принадлежащих подпространству
,
не больше
.
2. Доказать, что подпространство является линейной оболочкой системы векторов из подпространства тогда и только тогда, когда размерность равна рангу системы векторов .
3. Подпространство имеет размерность и является линейной оболочкой системы векторов . Доказать, что − базис подпространства .
4.
Подпространство
содержится в подпространстве
и
линейно независимые векторы из
подпространства
.
Доказать, что
,
если размерность
равна
.
5. Сформулировать алгоритм, позволяющий установить совпадение двух подпространств и в следующих случаях:
а) и − линейные оболочки системы векторов;
б) и − подпространства решений однородной системы линейных уравнений;
в)
;
.
6.
Выяснить, совпадет ли пространство
с линейной оболочкой
:
а)
;
б)
.
7.
Выяснить, совпадают ли подпространства
и
пространства
,
где
задано системой уравнений
а
− линейная оболочка системы векторов
.
8.
Система векторов
эквивалентна базису
подпространства
.
Доказать, что
базис
подпространства
.