1.3. Базисы подпространств

Система векторов подпространства называется базисом этого подпространства, если выполняются следующие два условия:

1) система векторов линейно независима;

2) каждый вектор подпространства разлагается по системе векторов

Введенное понятие базиса подпространства позволяет сформулировать необходимое и достаточное условие принадлежности вектора подпространству.

□ Теорема 1.3. Если базис подпространства L, то вектор принадлежит подпространству L тогда и только тогда, когда вектор разлагается по системе векторов , т. е.

Необходимость вытекает из определения базиса подпространства.

Достаточность следует из теоремы 1.2. ■

Следствие. Два подпространства и , имеющие общий базис , совпадают.

Доказательство. Используя теорему 1.3, имеем следующую цепочку импликаций:

. ◆

Диагональная система векторов является базисом пространства Действительно, она линейно независима и каждый n-мерный вектор разлагается по диагональной системе. Ниже будет доказано, что каждое ненулевое подпространство обладает базисом.

□ Теорема 1.4. Каждую линейно независимую систему векторов из подпространства L можно дополнить до базиса этого подпространства.

Доказательство. Если не является базисом , то первое условие из определения базиса выполняется и, значит, в подпространстве найдется такой вектор который не разлагается по векторам . Тогда , – линейно независимая система векторов (следствие к теореме 2.10 [1]). Если эта система все еще не является базисом L, то в подпространстве найдется такой вектор , что система векторов линейно независима. В пространстве каждая система из вектора линейно зависима (§5, лемма Штейница [1]). Следовательно, указанный процесс расширения линейно независимой системы векторов в подпространстве остановится и будет сделано не более шагов, . Так как процесс остановился, то каждый вектор подпространства разлагается по линейно независимой системе векторов и, значит, она является базисом подпространства. ■

Следствие. Каждое ненулевое подпространство L пространства обладает базисом.

Доказательство. Возьмем в подпространстве L вектор . Система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно независима, и ее можно дополнить до базиса подпространства L. ♦

Найдем теперь базисы подпространств, приведенных в § 2 [1]. Заметим, что нулевое подпространство L = {θ} не содержит ни одного базиса.

Базисы пространства

□ Теорема 1.5. Линейно независимая система n-мерных векторов является базисом пространства тогда и только тогда, когда число векторов в этой системе равно n, т. е.

Необходимость. Дано, что – базис . Рассмотрим систему векторов

(1)

где – диагональная система n-мерных векторов. Так как и базисы пространства , то они являются базисами системы векторов (1) и, в силу теоремы 2.15 [1], .

Достаточность. Покажем, что линейно независимая система векторов – базис . Действительно, если присоединим к этой системе произвольный n-мерный вектор , то получим линейно зависимую систему векторов (§ 5, лемма Штейница [1]). Следовательно, из теоремы 2.10 [1] вытекает, что вектор разлагается по векторам . ■