1.4Геометрична ймовірність

Класичне означення ймовірності придатне лише для експериментів з обмеженим числом рівномірних елементарних подій, тобто коли множина Ώ (простір елементарних подій) обмежена.

Якщо простір елементарних подій  можна подати у вигляді деякого геометричного образу, а множину елементарних подій для події А – як частину цього геометричного образу, то ймовірність події А визначається як відношення мір цих множин

.

Якщо множина Ώ вимірюється в лінійних одиницях, то дорівнюватиме відношенню довжини, якщо Ώ вимірюється у квадратних одиницях, то дорівнюватиме відношенню площ і т. ін.

Приклад 4. По трубопроводу між пунктами А і В перекачують нафту. Яка ймовірність того, що пошкодження через певний час роботи трубопроводу станеться на ділянці довжиною 100 м.

Розв’язання. Простір елементарних подій , тоді ( ).

Згідно з геометричної імовірності маємо: .

Приклад 5. На рисунку дано фігуру, де зображено квадрати зі стороною 1 та кола діаметром 1. Знайти імовірність того, що навмання кинута точка: Потрапить у не заштриховану область фігури. Потрапить у коло. Не потрапить у область, залиту чорним кольором.

Розв’язування.

Розглянемо завдання 1, де необхідно знайти імовірність того, що навмання кинута точка потрапить у не заштриховану область фігури. Не заштриховані частини фігури вказано стрілками на наступному рисунку.

Площа усієї фігури складає . Не заштрихованими у фігурі є чотири білі квадрати. Площа одного білого квадрата складає , чотири білих квадрати матимуть площу . Отже, імовірність того, що навмання кинута точка потрапить у не заштриховану область фігури складає .

Розглянемо завдання 2, де необхідно знайти імовірність того, що навмання кинута точка потрапить у коло. Оскільки діаметр кола за умовою дорівнює 1, то радіус буде . Площа кола обчислюється тоді як . Таких кіл у фігурі чотири, їх загальна площа . Площа усієї фігури складає . Отже, імовірність того, що навмання кинута точка потрапить у коло, складає .

Розглянемо завдання 3, де необхідно знайти імовірність того, що навмання кинута точка не потрапить у область, залиту чорним кольором. Перш за все, знайдемо імовірність протилежної події: знайдемо імовірність того, що навмання кинута точка потрапить у область, залиту чорним кольором. У фігурі чорним кольором залитий квадрат в центрі, а також частини чотирьох квадратів, у які вписані кола. Площа чорного квадрата у центрі складає , до неї додамо площу частин чотирьох квадратів, у які вписані кола, знайдемо як різницю між площею квадрата і площею кола, помножену на 4: . Площа усієї фігури складає . Тоді імовірність того, що навмання кинута точка потрапить у область, залиту чорним кольором . Тепер знайдемо імовірність того, що навмання кинута точка не потрапить у область, залиту чорним кольором: .

2Практична частина

Розв’яжемо з допомогою Microsoft Excel приклади, подані вище. Приклади 1 та 2 відтворено на рисунку 1.

Рис. 1. Приклад 1 та Приклад 2

B8	=B5/B6
C8	=B5/B6

F8	=E5/E6
G8	=E5/E6

Зауважимо також, що для клітинок С8 та F8 встановлено дробовий формат комірки, як на рис. 2.

Рис. 2. Встановлення дробового формату комірки

Розв’яжемо з допомогою Microsoft Excel Приклади 5.1 та 5.2, відтворені на рисунку 3.

Рис. 3. Приклад 5.1 та Приклад 5.2

E5	=4*B6
E6	=9
E8	=E5/E6
F8	=E5/E6

E12	=4*B13
E13	=9
E15	=E12/E13
F15	=E12/E13