Лабораторна робота №3

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ”ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”

Випадкові події методичні вказівки

до лабораторної роботи №3

з дисципліни ”Аналітико-синтетична переробка інформації. Частина 1”

для студентів базового напряму ”Культура”

Затверджено

на засіданні кафедри інформаційних систем та мереж

Протокол №14 від 18.05.2007р.

Львів-2008

Випадкові події: Методичні вказівки до лабораторної роботи №3 / Укл.: В.В.Литвин, Н.О.Думанський, Т.В. Шестакевич. – Львів: Видавництво Національного університету ”Львівська політехніка”, 2008. – 14 с.

Укладачі Литвин В.В., канд. техн. наук, доц.

Думанський Н.О., асистент

Шестакевич Т.В., асистент

Відповідальний за випуск Пасічник В.В., доктор техн. наук., проф.

Рецензенти Верес О.М., канд. техн. наук, доц.

Мета роботи: В даній роботі представлені поняття теорії імовірності, зроблений огляд типових задач в сенсі класичної та геометричної імовірності.

1Теоретична частина

1.1Випадкові події. Основні поняття. Простір елементарних подій. Операції з подіями

Випробування — реальний або мислений експеримент (виконуваний за певної незмінної сукупності умов), результати якого піддаються спостереженню.

Подія — результат випробування.

Достовірна подія — подія, яка в результаті випробування неодмінно відбудеться (позначається літерою U).

Неможлива подія — подія, яка в даному випробуванні не може відбутись (позначається літерою V).

Випадкова подія — подія, яка в результаті випробування може відбутись, а може не відбутись. Випадкові події позначаються літерами A, B, C, D, … .

Елементарні події — події, які не можна розкласти на простіші.

Можлива елементарна подія — це кожний із можливих результатів окремого випробування.

Простір елементарних подій — множина можливих елементарних подій, кожною з яких може закінчитись випробування. Якщо позначимо можливі елементарні події, то цю множину можна записати у вигляді Простір може містити скінченну, зліченну або незліченну множину значень.

Сумою подій В і С називається подія А, така що А = = В + С, або якщо при випробуванні відбувається принаймні одна з цих подій. Множину елементарних подій, що становлять подію А, дістають об’єднанням множин елементарних подій, що становлять події В і С. Аналогічно визначається сума n (n > 2) подій.

Добутком подій В і С називається подія А, така що А = ВС, або якщо в результаті випробування відбувається як подія В, так і подія С. Множина елементарних подій, що становлять подію А, визначається як переріз множин, що становлять події В і С. Аналогічно визначається добуток n (n > 2) подій.

Різницею подій В і С називається подія А, така що А = В – С, або якщо відбувається подія В і не відбувається подія С. Множина елементарних подій, що становлять подію А, містить елементарні події, що становлять В, виключаючи ті, при яких відбувається подія С.

Несумісними в даному випробуванні називаються події В і С, якщо відповідні їм множини елементарних подій не містять однакових елементів: Це означає, що коли одна з подій відбулась, друга подія відбутись не може.

Рівноможливими в даному випробуванні називаються події В і С, якщо є підстава вважати, що жодна з них не є об’єктивно більш можливою, ніж інша.

Повну групу подій у даному випробуванні утворюють події , якщо вони несумісні і в результаті випробування неодмінно відбудеться принаймні одна з них, а отже, їхня сума є достовірною подією:

Протилежними називаються події , якщо вони несумісні й утворюють повну групу подій, тобто

1.2Означення ймовірності події

Імовірністю події А називається числова міра об’єктивної можливості настання цієї події в певному випробуванні. Позначається ймовірність як Р(А).

Властивості ймовірності:

1. Імовірність достовірної події

2. Імовірність неможливої події

3. Імовірність будь-якої випадкової події

1.3Класичне означення ймовірності

Імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій :

Щоб обчислити ймовірність події А за цією формулою, потрібно знайти кількість елементарних подій у просторі , а також кількість їх у множині, яка відповідає події А.

Приклад 1. У ящику міститься 15 однотипних деталей, із яких 6 бракованих, а решта – стандартні. Навмання з ящика береться одна деталь. Яка ймовірність того, що вона буде стандартною?

Розв’язання. Число всіх рівноможливих елементарних подій для цього експерименту: n = 15. Нехай А – подія, що полягає в появі стандартної деталі. Число елементарних подій, що сприяють появі випадкової події А, дорівнює дев’яти (m = 9). Згідно з класичного означення імовірності маємо: .

Приклад 2. Гральний кубик підкидають один раз. Яка ймовірність того, що на грані кубика з’явиться число, кратне 3?

Розв’язання. Число всіх елементарних подій для цього експерименту n = 6. Нехай В – поява на грані числа, кратного 3. Число елементарних подій, що сприяють появі В, дорівнює двом (m = 2). Отже, .

Приклад 3. Монету підкидають тричі. Визначити елементарні події цього експерименту. Знайти імовірність того, що:

1. Герб випаде двічі.

2. Цифра випаде менше двох раз.

Розв’язання. Триразове підкидання монети – це одна спроба. Елементарними випадковими подіями будуть:

1 = ггг	тричі випаде герб
2 = ццц	тричі випаде цифра
3 = ггц 4 = гцг 5 = цгг	герб випаде двічі
6 = гцц 7 = цгц 8 = ццг	герб випаде один раз

Отже, цьому експерименту відповідають вісім елементарних подій.

Знайдемо імовірність того, що герб випаде двічі. Імовірністю буде відношення кількості елементарних подій, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій, тобто .

Знайдемо імовірність того, що цифра випаде менше двох раз. Не менше двох – це два або три рази. Отже, шукана імовірність складатиме: .