Глава 1. Обратная функция

1. Понятие обратной функции

Определение 10.

Пусть функция y=f(x), заданная на множестве X, обратима. Это значит, что функция f различным значениям аргумента ставит в соответствие различные значения функции, т.е. для любых x₁,x₂∈X : x₁. В этом случае для каждого y∈Y=f(X)  существует один и только один элемент x∈X такой, что y=f(x). А это означает, что на множестве Y определена функция g:Y→X , которую и называют обратной функцией к функции y=f(x) и обозначают: 

x= (y). При этом очевидно, что функция f является обратной к функции f . Поэтому функции y=f(x) и x= f (y) называют взаимно обратными.

Т.о., если функция f:X→Y , где Y=f(X), обратима, то для нее существует единственная обратная функция f :Y→X  и если y=f(x) то x= f (y), и если x= f (y), то y=f(x) и f (f(x))=x при любом x∈Х.

ПРИМЕР.

Если f- ограничение функции sin на отрезок [- ],

то отображение f: [- ] -- биекция.

Поэтому существует обратная функция  , называемая арксинусом и обозначаемая   или  . Таким образом,

sin и [- ].

Определение 11.

Пусть функция у = f(х) определена на множестве Х, У = f(х) – множество её значений. Пусть для У полный прообраз (y) – одноэлементное множество. Тогда У соответствует единственное х такое, что у = f(х). Таким образом, на множестве У задается функция х = с множеством значений Х = , называемая однозначной обратной функцией.

Согласно определения функция у = f(х) производит отображение множества Х на множество У, а обратная функция х = - У на Х: причём, для У имеем у = f( ), имеем х = (f(х)). Кроме того, для х₁, х₂ , таких, что х₁ х₂ имеем f(х₁) f(х₂).

Обозначим класс функций у = f(х), х и У = f(Х), для которых на множестве У существует однозначная обратная функция х = через (f ).

2. Условия существования обратной функции

Теорема 1 (достаточное условие существования)

Если функция y=f(x) строго возрастает (убывает) на множестве X, то для нее существует обратная функция x= (y), которая определена на множестве Y=f(X) и является на Y строго возрастающей (убывающей). Доказательство.

По условию функция f строго возрастает на множестве X. Это значит для любых x₁,x₂∈X и x₁<x₂ следует f(x₁)<f(x₂). Отсюда следует, что функция f обратима на X, следовательно, для нее существует обратная функция f^-1:Y→X . Покажем, что функция f^-1 строго возрастает на множестве Y. Пусть y₁ и y₂ - любые точки из Y и y₁<y₂. Докажем, что x₁=f^-1(y₁)<x₂=f^-1(y₂). Допустим, чтоx₁≥x₂ . По условию функция f строго возрастает на X, поэтому из условия x₁≥x₂ вытекает неравенство y₁=f(x₁)≥y₂=f(x₂) , что противоречит условию y₁<y₂. Т.о., условие строгой монотонности функции является достаточным для существования обратной функции.

Теорема 2 (необходимое условие существования)

Пусть Х = [a,b], тогда ( С_{х х})⟹ f M_х , т.е. непрерывная на сегменте функция при условии существования у нее однозначной обратной функции должна быть строго монотонной на этом сегменте.

Доказательство.

1 )Докажем, что из условия f C_{[a,b] [ a,b]} следует, что функция у = f(х), х [a,b], принимает наибольшее и наименьшее значения на концах [a,b]. Предположим противное. Пусть, например f(х₀)- наименьшее значение, где а ₀ , f(х₀) Тогда найдется точки и такие, что а х₀ b, причём так как f _{[ a,b]} , то f( ) f( ) и f( ) f( ).

Пусть f(х₀). Рассмотрим f(х) на [х₀, ].

f(х₀)⟹ - одно из промежуточных значений функции, т.е. [х₀, ] такое, что f( ) = f( ).

Но , т.к. а х₀. Получаем противоречие с тем, что f(х) имеет однозначную обратную функцию.

2) Докажем теперь, что f M _[a,b] . Пусть, например, inf f(х) = f(а) , sup f(х) = f(b), где х [a,b] установим строгое возрастание на [a,b] функции у = f(х). Пусть

х₁, х₂ [a,b], х₁₂ такие, что f(х₁) f(х₂), f(х₁) f(х₂) т.к. f _(a,b]. Тогда функция у = f(х) на сегменте [х₁,b] достигает наименьшего значения во внутренней точке. Чего не может быть согласно рассуждений первого этапа доказательства.

Теорема доказана.

Теорема 3

Если функция y=f(x) строго возрастает (убывает) и непрерывна на промежутке , то существует обратная функция x=f^-1(y), которая определена на промежутке E_f=f( ) и является на Е, строго возрастающей (убывающей) и непрерывной.

Доказательство.

Для определенности предположим, что функция f строго возрастает на промежутке . По следствию из 2-ой теоремы Больцано-Коши область значений E_f=f( ) непрерывной функции f тоже есть промежуток. В силу строгого возрастания функции f для каждого y∈E  существует единственная точка x∈   такая, что f(x)=y. Следовательно для функции f существует обратная функция f^-1 определенная на промежутке Е и с множеством значений .

Покажем, что f ^-1строго возрастает на Е. Пусть y₁ и y₂-- две произвольные точки из Е, такие, что y₁<y₂ и прообразами этих точек будут точки x₁ и x₂.  

f^-1(y₁)=x₁, и f^-1(y₂)=x₂.

Поскольку f - строго возрастающая функция, то неравенство y₁=f(x₁)<f(x₂)=y₂ возможно тогда и только тогда когда x₁<x₂ или тоже самое, когда f ^-1(y₁)<f ^-1(y₂). В силу произвольности y₁ и y₂ ∈E делаем вывод, что функция f^-1 - строго возрастает на множестве Е.

Что и требовалось доказать.