Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

Челябинский государственный педагогический университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа

Квалификационная работа

«Определение и изучение элементарных функций средствами математического анализа»

Выполнила: студентка 512 группы

математического факультета

Филюнина А.В.

Научный руководитель: доцент, кандидат

физико-математических наук

Гейт Н.Ж.

Челябинск 2012

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………………………………..3

Основные сведения………………………………………………………………………………………….5

Глава 1. Обратная функция………………………………………………………………………………12

1.1. Понятие обратной функции………………………………………………………………………12

1.2. Условия существования обратной функции……………………………………………..13

1.3. Свойства обратной функции……………………………………………………………………..16

Глава 2. Определение и изучение элементарных функций средствами математического анализа

2.1. Степенная функция с целым неотрицательным показателем

2.2. Степенная функция с целым отрицательным показателем

2.3. Степень с рациональным показателем

2.4. Показательная функция

2.5. Логарифмическая функция

2.6. Обратные тригонометрические функции

Заключение

Литература

Введение

Целью данной квалификационной работы является изучение элементарных функций средствами математического анализа. Введение и изучение свойств показательной, логарифмической, тригонометрических функций отлично от традиционного, излагаемого в основных учебниках по анализу.

Математический анализ (МА)– учение о функциях, её свойствах и применениях. Основы МА создавались многими учёными в течение всего 17 века, но основоположниками являются английский учёный Исаак Ньютон и немецкий учёный Готфрид Лейбниц. Однако знание МА достраивали в 18 веке, а особенно в 19 веке, когда французский математик Огюст Коши создал теорию пределов, определил теорию через предел и построил приложение дифференциального исчисления. К настоящему времени МА сильно разросся и сейчас является главной ведущей частью математики.

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:

алгебраические:

• степенная;

• рациональная

трансцендентные:

• показательная и логарифмическая;

• тригонометрические и обратные тригонометрические.

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.

В первой главе подробно излагаются обратные функции: дается понятие обратной функции, рассматриваются условия существования обратной функции, описываются свойства обратной функции по свойствам прямой.

Во второй главе в качестве простейшей функции, используемой для построения всех остальных, выбирается степенная функция с целым неотрицательным показателем.

После введения и изучения свойств степенной функции с целым отрицательным и рациональным показателями, с помощью предельного перехода вводится показательная функция. Затем изучаются средствами анализа свойства этой функции, дифференцируемость и строгое возрастание функции на всей области определения.

После этого вводится логарифмическая функция, как обратная показательной, и изучаются её свойства.

Далее вводятся и изучаются тригонометрические функции и обратные тригонометрическим функциям.

Основные сведения

Определение 1.

Пусть даны две переменные х и у с областями изменения Х и У. Предположим, что по условиям вопроса переменной х может быть приписано произвольное значение из области Х без каких-либо ограничений. Тогда переменная у называется функцией от переменной х в области ее изменения Х, если по некоторому правилу или закону каждого значению х из Х ставится в соответствие одно определенное значение у.

Независимая переменная х называется аргументом функции.

Область Х изменения аргумента называют областью определения функции, а область У – областью значения функции.

Область определения функции — множество, на котором задаётся функция.

Область значений функции — множество значений, которые принимает функция в результате ее применения.

Для указания того факта, что у есть функция от х, пишут: у=f(х).

Определение 2.

Ф ункцию называют монотонно возрастающей ( рис.1а), если с увеличением аргумента значение функции увеличивается и монотонно убывающей (рис. 1б), если с увеличением аргумента значение функции уменьшается.

Более строгое определение монотонности.

Функция у = f(х) называется монотонно возрастающей на интервале (a,b), если для любых х₁ и х₂ , принадлежащих этому интервалу, из неравенства х₂ х₁ следует неравенство f(х₂) f(х₁). Функция у = f(х) называется монотонно убывающей на интервале (a,b), если для любых х₁ и х₂ , принадлежащих этому интервалу, из неравенства х₂ х₁ следует неравенство f(х₂) f(х₁). Естественно, что интервал (a,b) взят из области определения функции.

Определение 3.

Функция f(х) имеет пределом число А при стремлении х к а, если для каждого числа ε 0 найдется такое число δ 0, что |f(х) - А| ε лишь только |х-а| (х а), х Х. А=lim f(х) при х стремящемся к а.

В самой точке х=а функция может и не существовать. Такова, например функция у= в точке х=0.

= 1, хотя в точке х=0 значение функции не определено.

В определении предела функции не указывается, каким образом аргумент х стремится к числу а. Если предел функции в точке а существует, то он не зависит от способа приближения аргумента х к точке а. Пусть переменная величина х обозначает движущуюся точку на оси абсцисс. Тогда стремление этой точки к а может происходить справа или слева. Результат стремления точки справа к а будем обозначать через а+0, а слева через а-0.

Более строгое определение предела.

Число В называется правым пределом функции при стремлении х к а справа (т.е. по значениям х а), если для любого ε 0 найдется такое δ, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 х - а δ, выполняется неравенство |f(х) - В| . =f(а + 0)=В.

Число С называется левым пределом f(х) при стремлении х к точке а слева (т.е. по значениям х), если для любого ε найдется такое δ что для всех х, удовлетворяющих неравенству -δ , выполняется неравенство |f(х) - С| . =f(а-0)=С.

Из определения предела функции вытекает следующее утверждение:

Если предел функции в точке а существует, то существуют и равны между собой левый и правый пределы функций в этой точке (обратное верно).

Говорят, что = , если для любого числа D найдется такое число , что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0, выполняется неравенство |f(х)| а функцию f(х) при х в этом случае называют бесконечно большой.

Вместо записи = употребляется и такая: f(х)→ при х .

Определение 4.

Функция F(х) называется бесконечно малой при х, стремящемся к а, если =0.

Функция F(х) называется бесконечно малой на бесконечности, если =0.

Согласно определению, значения функции F(х) по абсолютной величине становятся и продолжают оставаться меньше любого наперед заданного положительного числа, как только значения аргумента по абсолютной величине становятся достаточно большими.

Определение 5.

Пусть z = f(х,у) определена на Х, называется непрерывной в точке (х₀, у₀) Х, если выполняются следующее условие: ε δ=δ( ), такое что (х,у) S_δ((х₀,у₀)) Х f(х,у) S_δ(f(х₀,у₀)), т.е. все значения функции сколь угодно мало отличаются друг от друга, когда значение аргумента близки к точке (х₀,у₀).

Определение 6.

Функция у=f(х) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку) и предел функции в точке существует и равен значению функции в самой этой точке, т.е. = A = f(х₀)=f()

Из определения следует, что = = 0.

Определение 7.

Функция у = f(х) называется непрерывной на интервале, если она определена на этом интервале и непрерывна в каждой точке интервала.

Говорят, что точка х₀ есть точка разрыва для функции у = f(х), если функция определена в окрестности этой точки ( в самой точке х₀ функция может существовать, а может и не существовать), но в точке не выполняются условия непрерывности.

Если предел функции в данной точке отсутствует (и функцию нельзя доопределить до непрерывной), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

• если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;

• если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.

ПРИМЕР.

Найти точки разрыва функции f(х)=arctg , если они существуют.

Решение.

Данная элементарная функция определена для всех x, исключая точку x = 0, где она имеет разрыв. Найдем односторонние пределы в этой точке.

      

Видно, что в точке x = 0 существует разрыв первого рода.

Определение 8.

Пусть функция у=f(х) определена в Х. Исходя из некоторого значения х=х₀ независимой переменной, придадим ему приращение , не выводящее его из промежутка Х, так что и новое значение х₀+ принадлежит этому промежутку. Тогда значение функции у₀ = f(х₀) получит приращение:

Если существует предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению независимой переменной к нулю, т.е.

= , то он называется производной функции у = f(х) по независимой переменной х при данном её значении (или в данной точке) х=х₀.

Таким образом, производная при данном значении х=х₀ - если существует – есть определенное число, если же производная существует по всем промежутке Х, т.е. при каждом значении х в этом промежутке, то она является функцией от х.

Определение 9.

Пусть имеем функцию у = f(х), определенную в некотором промежутке Х и непрерывную в рассматриваемой точке х₀.

Тогда приращению аргумента отвечает приращение бесконечно малое вместе с . Важным вопросом является, существует ли для такая линейная относительно бесконечно малая А (А=соnst),что их разность оказывается, по сравнению с , бесконечно малой высшего порядка:

(*)

При А равенство (*) показывает, что бесконечно малая А эквивалентна бесконечно малой .

Если равенство (*) выполняется, то функция у = f(х) называется дифференцируемой (при данном значении х = х₀), само же выражение А называется дифференциалом функции и обозначается: dy или df(х₀).

Утверждение.

Для того, чтобы функция у = f(х) в точке х₀ была дифференцируема, необходимо и достаточно, чтобы для нее в этой точке существовала конечная производная = (х₀).

При выполнении этого условия равенство (*) имеет место при значении постоянной А, равном именно этой производной:

+ 0( ).