3. Затухающие механические и электромагнитные колебания

3.1. Примеры решения задач

Пример 1

Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз уменьшится амплитуда за время мин?

Дано: мин мин

Решение. Амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени по закону

,

где – амплитуда в момент времени ;

- амплитуда колебаний в начальный момент времени;

- коэффициент затухания.

Тогда

и

.

Прологарифмировав оба уравнения, выразим из каждого уравнения коэффициент затухания :

и .

Приравнивая правые части полученных выражений, находим, что , откуда следует, что

.

.

Ответ: .

Пример 2.

Гиря массой кг подвешена к пружине, жесткость которой Н/м, и совершает затухающие колебания. Определить их период в двух случаях: 1) за время, в течении которого произошло колебаний, амплитуда уменьшилась в раза; 2) за время двух колебаний ( ) амплитуда колебаний уменьшилась в N₂= 20 раз.

Дано: кг Н/м

Решение: Сопротивление среды уменьшает частоту свободных колебаний. Период

затухающих колебаний определяется по соотношению

.

Циклическую частоту собственных колебаний определим по соотношению

Коэффициент затухания вычислим по формуле

.

Чтобы найти величину , обратимся к уравнению затухающих колебаний

Уменьшающуюся со временем амплитуду выразим так:

.

Пользуясь введенными в условии задачи обозначениями, можно записать

.

Тогда

.

Отсюда, логарифмируя, имеем

.

Подставив численные значения N и n для двух случаев, получим:

.

Теперь запишем формулу для периода колебаний с учетом выражения для

Получилось квадратное уравнение относительно . Решая его, находим (отбросив, отрицательный корень)

.

Приступая к вычислениям периода, заметим, что в первом случае . Поэтому, сохраняя достаточную точность вычислений, можно пренебречь слагаемым , тогда

.

Во втором случае величину отбросить нельзя.

Произведем вычисления:

с;

с.

Ответ: с, с.

Пример 3*

Математический маятник длиной см совершает затухающие колебания. Через какое время энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза? Задачу решить при значении логарифмического декремента затухания:

а) ; б) .

Дано: см = м = 9,4 а) ; б) .

-?

Решение. Полная энергия маятника, совершающего затухающие колебания, уменьшается с течением времени по закону

где – масса маятника;

- частота затухающих колебаний;

- амплитуда маятника в момент времени.

Тогда отношение энергии маятника в момент времени к энергии маятника в момент времени равно

Так как - по условию, то

Коэффициент затухания связан с логарифмическим декрементом затухания соотношением

где T – период затухающих колебаний.

Таким образом,

, откуда следует, что

. (1)

Период затухающих колебаний

где – частота собственных колебаний маятника.

Таким образом, период затухающих колебаний равен

(2)

Подставив формулу (2) в выражение (1) для определения времени, получим

. (3)

а)

Так как , то слагаемым в формуле (3) можно пренебречь.

Следовательно,

б)

Ответ: а) =0,01, t=112 c; б) с.

Пример 4*

К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на см. Оттягивая этот груз и опуская его, заставляют груз совершать колебания. Каким должен быть коэффициент затухания , чтобы: а) колебания прекратились через время с (считать условно, что колебания прекратились, если их амплитуда упала до 1% от начальной); б) груз возвращался в положение равновесия апериодически; в) логарифмический декремент затухания колебаний был ?

Дано: см = а) t = 10с б) в)

- ?

Решение:

а)

б) при возвращении груза в положение равновесия апериодически частота затухающих колебаний становится равной нулю:

Следовательно,

где – частота собственных колебаний груза на пружине;

- жесткость пружины;

- масса груза.

В состоянии равновесия на груз действует две силы: сила тяжести и сила упругости , причем

,

, откуда получим, что

.

;

в)

где – частота затухающих колебаний;

- частота собственных колебаний.

Преобразуя уравнение (1), получим для определения следующее выражение:

- откуда находим, что

.

.

Ответ:

Пример 5*

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью нФ, катушки с индуктивностью мГн и сопротивления Ом. Во сколько раз уменьшится разность потенциалов на обкладках конденсатора за один период колебаний?

Дано: Ф t = 10с Ом

Решение: Амплитудное значение разности потенциалов, при затухающих колебаниях, уменьшается по экспоненциальному закону

,

где – амплитуда разности потенциалов в начальный момент времени ;

- коэффициент затухания.

Тогда ,

где – период затухающих колебаний.

Так как частота затухающих колебаний связана с частотой собственных колебаний соотношением , то период затухающих колебаний вычисляется так:

.

Следовательно,

.

Ответ:

Пример 6*

Колебательный контур имеет емкость нФ и индуктивность мГн. Логарифмический декремент затухания . За какое время вследствие затухания потеряется 99% энергии контура?

Дано: Ф Гн

Решение: Энергия колебательного контура равна максимальной энергии электрического поля в контуре, которая пропорциональна амплитуде заряда на обкладках конденсатора:

,

где .

Преобразуем заданное условие к виду:

;

По условию задачи

, т.е.

.

Чтобы найти коэффициент затухания , выразим его через логарифмический декремент затухания и частоту незатухающих колебаний в контуре

;

отсюда ; ;

С учетом этого .

Произведем вычисления:

с

Ответ: с

Пример 7

Гиря массой г, подвешенная на пружине жесткостью Н/м, опущена в масло. Коэффициент сопротивления для этой системы составляет кг/c. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону (Н).Определите: 1) амплитуду вынуждающих колебаний, если частота вынуждающей силы вдвое меньше частоты собственных колебаний; 2) частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна; 3) резонансную амплитуду.

Дано: г кг/с ,Н Н/м

1) 2) 3)

Решение: 1) Амплитуда вынужденных колебаний:

,

Учитывая, что , а и получаем

=

Подставляя значения, получаем

м=3,3 см

2) с^-1;

3) м=20 см.

Ответ: см; с^-1; см.

Пример 8.

Участок цепи, состоящий из последовательно соединенных конденсатора Ом и активного сопротивления, подключили к внешнему переменному напряжению с амплитудой В. При этом амплитуда установившегося тока оказалась равной А. Найти разность фаз между током и внешним напряжением.

Дано:

- ?

Решение: В данном случае , где определяется по формуле (28) при :

.

Неизвестное значение емкости найдем из выражения для амплитуды тока

;

.

После подстановки в выражение для получили:

Произведем вычисления:

;

.

В нашем случае, это означает, что ток опережает по фазе напряжение.

Ответ: .