27. Проверка простой гипотезы о параметре распределения.

Для нормального распределения основными и достаточными параметрами являются математическое ожидание(среднее) и дисперсия (отклонение от среднего).

• Мат.ожидание (байесовское решение)

Будем предполагать, что два взаимоисключающих состояния s₀ и s₁ характеризуются двумя значениями параметра некоторого одномерного распределения, и задача состоит в проверке гипотезы о том, при каком из этих двух значений производилась выборка (наблюдение).

Проверяется гипотеза Н₀ о том, что среднее значение нормальной случайной величины равно а₀, против альтернативы H₁, что среднее равно а₁. Предположим, что дисперсия σ² нормальной случайной величины известна точно и что выборка, на основании которой проверяется гипотеза, состоит из независимых элементов х₁ ..., х_n. Многие из оптимальных процедур проверки гипотезы состоят в сравнении логарифма отношения правдоподобия ln(х₁ ..., х_n) с некоторым порогом (или с двумя порогами при последовательной процедуре). Рассматриваем случай нормального распределения при независимых элементах выборки.

Тогда имеем (после некоторых вычислений), что принимается решение γ₁ (среднее равно а₁), если

и принимается решение γ₀ (среднее равно а₀), если выполняется неравенство, противоположное указанному выше. Величина порога определяется в зависимости от выбранного критерия по таблицам.

Таким, образом, процедура проверки гипотезы о среднем значении нормальной случайной величины сводится к сравнению среднего арифметического выборочных значений с порогом:

.

Короче, принимаем выборки(наблюдаем конкретные отсчеты), находим среднее, сравниваем с порогом.

Мат.ожидание равняется (из условия)

,

и соответственно дисперсия

.

Тогда находим (при а₁>а₀) выражения условных вероятностей ошибок:

где F (x) — интеграл Лапласа.

Для критерия максимального правдоподобия (с = 1)(рис.1.5):

На рис. 1.5 пунктирные кривые изображают исходные функции распределения, соответствующие гипотезам H0 и Н1. Сплошными линиями показаны функции распределения среднего арифметического выборочных значений для тех же гипотез. Порог установлен по критерию максимального правдоподобия (с = 1). Площади заштрихованных участков равны вероятностям ошибок первого и второго рода, которые при k = (а0 + а1)/2 совпадают.

Рисунок 1.5 иллюстрирует состоятельность правила выбора решения, основанного на сравнении среднего арифметического с порогом. Для единственного выборочного значения распределения при гипотезе и альтернативе существенно перекрываются (пунктирные кривые). При увеличении размера выборки распределения среднего арифметического заметно различаются, концентрируясь в областях, близких к соответствующим средним значениям.

• Дисперсия нормальной случайной величины (байесовское решение).

Предположим теперь, что среднее значение нормальной случайной величины равно нулю, а относительно ее дисперсии выдвигается гипотеза Н0, что она равна против простой альтернативы H1 что дисперсия равна . Сохраним предположение о независимости элементов выборки.

Тогда правило выбора решения (при непоследовательном анализе) можно записать следующим образом: принимается решение γ₁ (дисперсия равна ), если >

(1)

и принимается решение γ₀ (дисперсия равна ), если > .

Таким образом, процедура проверки гипотезы о дисперсии нормальной случайной величины сводится к сравнению суммы квадратов выборочных значений с порогом. Поверхность, разделяющая допустимую и критическую области пространства выборок, представляет в этом случае гиперсферу с центром в начале координат и радиусом, равным .

Найдем выражения условных вероятностей ошибок:

;

где — неполная гамма-функция.

Рис. 1.7 иллюстрирует правило выбора решения (1). Пунктирные кривые изображают исходные функции распределения, соответствующие гипотезам Н₀ и Н₁. Сплошными линиями показаны распределения суммы квадратов выборочных значений для тех же гипотез. Площади заштрихованных участков равны вероятностям ошибок первого и второго рода.

*Теория статистической радиотехники. Левин. Том 2. 1975г. стр.37-47.