- •Программа
- •Тема 1. Неопределенный интеграл
- •Тема 2. Определенный интеграл
- •Тема 3. Функции нескольких переменных
- •Тема 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •1. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •Основные правила интегрирования
- •1.2. Основные методы интегрирования
- •1.2.1. Непосредственное интегрирование функций и метод поднесения под знак дифференциала
- •Классы функций, интегрируемых по частям
- •1.2.5. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе
- •1.2.6. Интегрирование рациональных дробей
- •1.2.7. Интегрирование тригонометрических функций
- •1.2.8. Интегрирование иррациональных функций
- •1.2.9. Интегрирование дифференциальных биномов
- •2. Определенный интеграл
- •2.1. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Вычисление площадей плоских фигур
- •2.2. Вычисление длин дуг кривых. Вычисление объемов
- •2.3. Несобственные интегралы
- •2.3.1. Интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы первого рода)
- •2.3.2. Интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)
- •3. Функции нескольких переменных
- •3.1. Понятие функции нескольких переменных
- •3.2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных
- •3.3. Дифференцирование функций нескольких переменных
- •3.3.1. Частное и полное приращения функции
- •3.3.2. Частные производные
- •3.3.3. Полный дифференциал функции
- •3.3.4. Дифференцирование сложных и неявных функций
- •3.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •3.5. Экстремум функции нескольких переменных
- •3.6. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области
- •4. Дифференциальные уравненИя первого порядка
- •4.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •4.2. Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка
- •4.3. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •4.4. Уравнения Бернулли
- •4.5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •4.6. Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •5. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
- •5.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения
- •5.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
- •7.2. Линейная однородная система n-го порядка с постоянными коэффициентами
- •7.3. Задачи динамики, приводящие к решению дифференциальных уравнений
- •Вопросы для самоконтроля Неопределенный интеграл
- •Определенный интеграл
- •Функции нескольких переменных
- •Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений
- •КонтрольНая работа № 2
- •Литература
- •Содержание
5.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид
, (5.4)
где – непрерывная функция.
Пусть уравнение
(5.5)
будет общим решением однородного уравнения (5.1), соответствующего уравнению (5.4). Метод вариации произвольных постоянных состоит в том, что общее решение уравнения (5.4) ищется в виде
,
где – неизвестные функции. Эти функции определяются из системы
где – производные функций . Для уравнения второго порядка данная система имеет вид
Пример 5.5. Решить уравнение .
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Поэтому общее решение однородного уравнения будет таким: . Положим и . Запишем систему для определения и :
Решая эту систему уравнений, получим:
,
откуда
где – произвольные постоянные.
Общее решение запишется так:
.
6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
, (6.1)
где – непрерывная функция. Соответствующим однородным уравнением будет
. (6.2)
Пусть
(6.3)
будет характеристическим уравнением для уравнения (6.2). Общее решение y уравнения (6.1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (6.2) и какого-либо частного решения y* неоднородного уравнения (6.1), то есть
.
1. Если правая часть уравнения (6.1) имеет вид: ,где – многочлен степени n, то частное решение уравнения (6.1) может быть найдено в виде
,
где – некоторый многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз является корнем характеристического уравнения.
Пример 6.1. Найти общее решение уравнения .
Решение. Составляем характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения. Его корни . Так как число корнем характеристического уравнения не является, то . Степень многочлена в правой части равна единице. Поэтому частное решение ищем в виде
Находим и, подставляя , и y в уравнение, получим (после сокращения на )
.
Откуда находим
Искомое частное решение имеет вид
,
а общее решение уравнения будет
.
2. Если правая часть уравнения (6.1) имеет вид
, (6.4)
где и – многочлены n-й и m-й степени соответственно, тогда:
а) если числа не являются корнями характеристического уравнения (6.3), то частное решение уравнения (6.1) ищется в виде
, (6.5)
где и – многочлены степени s с неопределенными коэффициентами и ;
б) если числа являются корнями кратности r характеристического уравнения (6.3), то частное решение уравнения (6.1) ищется в виде
(6.6)
где и – многочлены степени s с неопределенными коэффициентами и .
Замечания.
1. Если в (6.4) или , то частное решение y* также ищется в виде (6.5), (6.6), где (или ).
2. Если уравнение (6.1) имеет вид , то частное решение такого уравнения можно искать в виде , где – частное решение уравнения , а – частное решение уравнения .
Пример 6.2. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид
,
характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение однородного уравнения:
.
Правая часть данного уравнения есть сумма
.
Поэтому находим частные решения для каждого из трех уравнений:
.
Частное решение первого уравнения ищем в виде , так как является однократным корнем характеристического уравнения и – многочлен нулевой степени. Поскольку
,
то, подставляя эти выражения в первое уравнение, имеем
или и .
Частное решение второго уравнения будем искать в виде , так как в правой части второго уравнения не является корнем характеристического уравнения и – многочлен нулевой степени.
Определяя, как и выше, постоянную A, получим . Частное решение третьего уравнения будем искать в виде , так как в правой части третьего уравнения является однократным корнем характеристического уравнения и – многочлен первой степени. Поскольку , то, подставляя эти выражения в третье уравнение, имеем . Приравнивая коэффициенты при x и свободные члены в левой и правой частях равенства, получаем систему – , откуда находим .
Следовательно, .
Суммируя частные решения, получаем частное решение y* исходного уравнения . Тогда общее решение данного неоднородного уравнения будет следующим:
Пример 6.3. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Поэтому общим решением соответствующего однородного уравнения будет . Для первой части данного уравнения – многочлен первой степени; – многочлен нулевой степени ; являются корнями характеристического уравнения. Поэтому частное решение данного уравнения ищем в виде или .
Находим
Подставляя в данное уравнение, имеем
Приравнивая коэффициенты при в обеих частях равенства, получаем систему
Решая эту систему, находим . Тогда
.
Общее решение будет . Находим . Так как то . Таким образом, . Подставляя значения в общее решение, получим частное решение .
Пример 6.4. Определить вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения, если известны корни , его характеристического уравнения и его правая часть
.
Решение. В правой части – многочлены нулевой степени, являются корнями характеристического уравнения. Поэтому частное решение будет иметь вид
,
где A и B – неопределенные коэффициенты.
7. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ. МЕТОД ЭЙЛЕРА РЕШЕНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
7.1. Нормальная система n-го порядка обыкновенных
дифференциальных уравнений
Нормальная система n-го порядка обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид
где t – независимая переменная; – неизвестные функции от – заданные функции.
Метод исключения неизвестных состоит в том, что данная система приводится к одному дифференциальному уравнению n-го порядка с одной неизвестной функцией (или к нескольким уравнениям, сумма порядков которых равна n). Для этого последовательно дифференцируют одно из уравнений системы и исключают все неизвестные функции, кроме одной.
Пример 7.1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений
и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .
Решение. Дифференцируем первое уравнение по t: . Заменяя здесь ее значением из второго уравнения системы и подставляя , найденное из первого уравнения, получим после упрощения уравнение второго порядка .
Интегрируем это уравнение, предварительно понижая порядок:
Дифференцируя эту функцию и подставляя в выражение , получим
.
Общим решением данной системы дифференциальных уравнений будет
.
Для нахождения частного решения подставим начальные условия
. Получим , откуда .
Следовательно, искомым частным решением системы будет пара функций:
.
Пример 7.2. Найти общее решение системы
.
Решение. Дифференцируем первое уравнение: . Заменяем ее значением из второго уравнения и подставляем затем . Получим линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
.
Его общее решение
(получено как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного
уравнения).
Подставляя x и в выражение для y, получим
.
Общее решение исходной системы имеет вид