10. Составление условных уравнений в полигонометрических сетях.

П ри уравнивании полигонометрических сетей условные уравнения чаще всего составляются для отдельных ходов, входящих в сеть.

Число независимых условных уравнений = числу избыточных измерений: r = N - k,

где N – число всех измерений в сети;

k - число необходимых измерений в сети – минимальное число измерений, которое необходимо произвести для определения искомых величин;

r - число избыточных измерений.

В каждом ходе возникает 3 вида условных уравнений, т.к. имеется 3 избыточных измерения: β_n, β_n+1, S_n.

1. условие дирекционных углов (угловое условное уравнение): ;

2. условие абсцисс (1ое координатное условие): X_к = X’_к = X’_n+1

3. условие ординат (2ое координатное условие): Y_к = Y’_к = Y’_n+1

Условие дирекционных углов вытекает из связи углов поворота с начальным и конечным дирекционными углами:

α_n+1 – α_к = w_β – угловая невязка

V_β1 + V_β2 + V_β3 + ... + V_βn-1 + V_βn + V_βn+1 + w_β = 0

ΣV_β + w_β = 0.

Второе и третье условия вытекают из связи приращений координат с исходными начальными и конечными координатами.

[PV²]= min

Переходим от поправок приращения координат к поправкам измерения.

Δx = S∙cosα

Δy = S∙sinα

В результате уравнивания поправки отыскиваются только к результатам измерений. Следовательно, мы должны от поправок к приращениям координат и даже от поправок к дирекционным углам перейти к поправкам в измеренные углы и расстояния.

В результате получаем координатное условное уравнение в следующем виде:

При уравнивании геодезических сетей требуется составить систему условных уравнений из независимых уравнений. Это значит, что ни одно из уравнений системы не может быть получено как комбинация других уравнений, входящих в систему.

11. Составление системы нормальных уравнений в коррелатном способе.

В коррелатном способе уравнивания условные уравнения составляются исходя из геометрических связей, возникающих в сети. Число нормальных уравнений r = n - k.

n - число всех выполненных измерений;

k - число необходимых измерений в сети – минимальное число измерений, которое необходимо произвести для определения искомых величин;

r - число избыточных измерений.

Система, состоящая из r уравнений с n неизвестными, имеет множество решений. Поэтому она не м.б. решена однозначно. Из всего множества решений выберем такие неизвестные, которые удовлетворяют условию МНК [v²] = min для равноточных измерений или [pv²] = min – для неравноточных измерений;

v- поправка.

Запишем систему условных уравнений поправок:

a₁₁v₁ + a₁₂v₂ + a₁₃v₃ +... + a_1nv_n + w₁ = 0 [a₁υ] + w₁ = 0

a₂₁v₁ + a₂₂v₂ + a₂₃v₃ +... + a_2nv_n + w₂ = 0 [a₂υ] + w₂ = 0

a₃₁v₁ + a₃₂v₂ + a₃₃v₃ +... + a_3nv_n + w₃ = 0 [a₃υ] + w₂ = 0

……………………………………… (1) или в сокращённом виде ………………

a_r1v₁ + a_r2v₂ + a_r3v₃ +... + a_rnv_n + w_r = 0 [a_rυ] + w_r = 0

a_ij – коэффициент при поправках к измерениям

i - номер уравнения

j – номер измерения

Невязки w_i являются свободными членами этих уравнений.

Для отыскания относительного минимума функции необходимо применить метод Лагранжа, согласно которому составляем функцию:

Ф = [pυ²] + λ₁ ([a₁υ]+w₁) + λ₂([а₂υ]+w₂)+.....+ λ_r([а_rυ] + w_r).

где λ₁= - 2κ₁, λ₂= - 2κ₂ - неопределенные множители Лагранжа,

к₁, к₂, к_r – коррелаты.

Беря производные от функции по υ и приравнивания их к нулю получаем выражение определяющее поправки через коррелаты k:

υ₁= qa₁₁k₁ + qa₁₂ k₂+....... + qa_1r k_r

υ₂= qa₂₁k₁ + qa₂₂ k₂ +....... + qa_2r k_r (2)

υ_i= qa_i1k₁ + qa_i2 k₂ +....... + qa_ir k_r

Умножая все равенства поочередно на а_i1, а_i2, ..., а_ir и каждый раз складывая их, получим:

[a₁υ] = [qa₁a₁]k₁ + [qa₁a₂]k₂ + … + [qa₁a_r]k_r;

[a₂υ] = [qa₁a₂]k₁ + [qa₂a₂]k₂ + … + [qa₂a_r]k_r;

[a_rυ] = [qa₁a_r]k₁ + [qa₂a_r]k₂ + … + [qa_ra_r]k_r.

Учитывая систему уравнений (1) получаем следующую систему уравнений:

[qa₁a₁]k₁ + [qa₁a₂]k₂ + … + [qa₁a_r]k_r + w₁ = 0

[qa₁a₂]k₁ + [qa₂a₂]k₂ + … + [qa₂a_r]k_r + w₂ = 0 (3)

[qa₁a_r]k₁ + [qa₂a_r]k₂ + … + [qa_ra_r]k_r + w_r = 0

Равенства (3) представляют собой систему нормальных уравнений коррелат, в которой число уравнений равно числу неизвестных.

Линейная система нормальных уравнений имеет особенности:

1) по диагонали, расположенной слева вниз направо, стоят коэффициенты, которые всегда положительны: их называют квадратичными, а диагональ – квадратичной.

2) остальные, неквадратичные, коэффициенты расположенные симметрично относительно квадратичной диагонали равны между собой.