Лабораторна робота №5

Тема заняття:

Оцінювання параметрів розподілу одновимірної випадкової величини за даними вибіркової сукупності

Мета заняття:

Закріпити теоретичні знання щодо визначення точкових та інтервальних оцінок параметрів розподілу за незгрупованими даними;

розглянути методику групування даних вибіркової сукупності та побудову гістограми й кумуляти;

навчитися використовувати такі вбудовані функції MS Excel як МИН, МАКС, Срзнач, Дисп, Доверти, Стандотклон, Счет, Мода, Медиана, Ексцесс а також процедурами Гистограмма та Описательная статистика.

Теоретичні положення:

Множина всіх значень, які приймає (або може приймати) випадкова величина , утворює генеральну сукупність. Оскільки об’єкти поєднані у сукупність за певною ознакою, це передбачає, що вплив економічних факторів, дослідження яких і ставиться за мету, в межах сукупності підпорядковується єдиному закону. Якщо вивчається вплив тільки одного з факторів, то така сукупність є одновимірною. Множина значень випадкової величини, які вона приймає під час обмеженої кількості вимірювань, називається вибірковою сукупністю або вибіркою. Кількість вимірювань становить обсяг вибірки. За результатами обчислення вибіркових даних роблять висновок щодо кількісних характеристики випадкової величини у генеральній сукупності. Числові характеристики, що обчислені за вибірковими даними, є статистичними оцінками відповідних числових характеристик генеральної сукупності.

Статистичною оцінкою математичного сподівання випадкової величини є вибіркова середня (центр вибіркової сукупності), що обчислюється як середнє виважене варіант , кожна з яких береться з вагою, що відповідає її відносній частоті :

. (5.1)

Вибіркова середня є незсунутою оцінкою, тобто математичне сподівання вибіркової середньої дорівнює математичному сподіванню випадкової величини.

Вибіркова дисперсія визначається як середнє арифметичне квадратів відхилення значень випадкової величини від її вибіркової середньої:

(5.2)

Вибіркова дисперсія є зсунутою оцінкою дисперсії випадкової величини генеральної сукупності. Для обчислення виправленої вибіркової дисперсії користуються формулою:

. (5.3)

Виправлене середнє квадратичне відхилення визначається як . Саме воно є оцінкою середнього квадратичного відхилення теоретичного розподілу, що характеризує розпорошення випадкової величини навколо центра сукупності.

Вибіркова середня та виправлене середнє квадратичне відхилення вибірки є точковими оцінками відповідних числових характеристик теоретичного розподілу, оскільки кожна з них визначена одним числом (точкою). Оскільки оцінки числових характеристик генеральної сукупності самі є випадковими величинами, тому окрім точкових розглядають ще інтервальні оцінки, тобто довірчий інтервал , до якого з ймовірністю влучає невідоме значення числової характеристики теоретичного розподілу. Ймовірність того, що числова характеристика теоретичного розподілу належатиме певному довірчому інтервалу, є надійністю оцінки , яка, в свою чергу, пов’язана з рівнем значущості : . За означенням довірчого інтервалу маємо:

. (5.4)

В припущенні нормального закону розподілу в генеральній сукупності маємо довірчий інтервал для математичного сподівання :

. (5.5)

З довірчою ймовірністю похибка оцінки , з якою математичне сподівання оцінюють за вибірковою середньою, не перевищує значення .

Довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення теоретичного розподілу можна обчислити за формулою:

, (5.6)

де чинник , який залежить від обсягу вибірки та надійності , знаходиться за відповідною довідковою таблицею.

Статистичний розподіл неперервної випадкової величини можна представити графічно за допомогою гістограми. Для побудови гістограми частот за інтервальним рядом розподілу на кожному інтервалі, як на основі, креслять прямокутник, висота якого дорівнює (або, відповідно, для гістограми частостей). Отже, площа -го прямокутника гістограми частот становить , звідси загальна площа всіх прямокутників цієї гістограми чисельно дорівнює обсягу вибіркової сукупності . Відповідно загальна площа всіх прямокутників гістограми відносних частот (частостей) дорівнює одиниці. Гістограма відносних частот відображує оцінку функції щільності розподілу ймовірностей випадкової величини.

Емпіричною функцією розподілу називають функцію , яка для будь-якого наперед заданого значення визначає відносну частоту події, яка полягає в тому, що випадкова величина прийме значення, менше за . Згідно з цим означенням , де – сума варіант, значення яких менші за . Отже, емпірична функція розподілу визначається шляхом послідовного додавання відносних частот, що відповідають варіантам, меншим за . Графіком цієї функції є кумулята.

Приклад.

Вихідні дані, що містяться у таблиці (табл. 5.1), описують місячну продуктивність вугледобувної бригади. Ця вибіркова сукупність містить 168 варіант і є репрезентативною.

Статистичні дані потрібно занести до робочого аркуша MS Excel. Оскільки статистика виконується для одновимірної вибірки, то її набирають у одному стовпчику. Систематизація вибірки, тобто підрахунок кількості варіант, що містяться у певному інтервалі (карманах), передбачає завдання меж цих інтервалів. Це може виконуватися автоматично (за допомогою вбудованого алгоритму) або явно (якщо навести перелік інтервалів в окремому стовпчику).

Таблиця 5.1