Висновок: Розрахунок за більшістю поданих критеріїв, оптимальним є виробництво продукції згідно з альтернативним варіан­том а3.

Основні питання для самоперевірки

1. Що спільного і яка відмінність у прийнятті рішень в умовах ризику та невизначеності?

2. Які критерії покладені в основу прийняття рішень в умовах ризику ?

3. За яких умов використовується критерій Лапласа й на чому він базується?

4. Опишіть алгоритм використання критерію Вальда для прийняття рішень в умовах невизначеності.

5. Між чим і на основі чого встановлює баланс критерій Гурвіца в прийнятті рішень в умовах невизначеності?

6. За яких умов використовується критерій Байєса і яка його розрахункова формула?

Лабораторна робота №5 лінійна регресія

Завдання: Визначити модель, котра найкраще описує взаємозалежність між факторами х та у, знайти ряд вирівняних значень, провести дослідження знайденої економетричної моделі

Вихідні дані:

№	Yі	Xі
1	12.58+N	2.04+N
2	17.40	2.31+N
3	12.45+N	2.56+N
4	11.27+N	3.14+N
5	19.48	4.22
6	14.32+N	4.54
7	15.07+N	5.02+N
8	19.44	5.23
9	18.57	6.18+N
10	19.52+N	6.51

де N – номер по списку

Методичні рекомендації до виконання роботи

Якщо дано сукупність показників y, що залежать від факторів х, то постає завдання знайти таку економетричну модель, яка б найкраще описувала існуючу залежність. Одним з методів є лінійна регресія. Лінійна регресія передбачає побудову такої прямої лінії, при якій значення показників, що лежать на ній будуть максимально наближені до фактичних, і продовжуючи цю пряму одержуємо значення прогнозу. Процес продовження прямої називається екстраполяцією. Відповідно до цього постає задача визначити цю пряму, тобто рівняння цієї прямої. В загальному вигляді рівняння прямої виглядає:

, (5.1)

Коефіцієнт а характеризує точку перетину прямої регресії з лінією координат. при зміні х на одиницю.

Знайшовши значення параметрів розраховують ряд вирівняних значень для відповідних факторів і проводять дослідження знайденої економетричної моделі.

Щоб зробити висновок про доцільність використання знайденої моделі проводять аналіз за наступними напрямками:

1) Розраховують критерій Фішера та перевіряють знайдену модель на адекватність вихідним даним;

2) Розраховують і аналізують дисперсію показників;

3) Розраховують і аналізують коефіцієнт кореляції;

4) Розраховують та аналізують коефіцієнт еластичності;

5) Розраховують довірчий інтервал для прогнозованих показників.

Приклад. На основі статистичних даних показника Y та фактора X (стовпчики y_i та х_i табл. 4.1), побудувати діаграму розсіювання та її графік, перевірити знайдену модель з ймовірністю р=95% на адекватність вихідним даним, знайти та пояснити значення:

1. параметрів лінійної регресії та їх довірчого інтервалу;

2. дисперсій (загальної, пояснювальної, залишкової);

3. коефіцієнта детермінації;

4. коефіцієнта кореляції;

5. коефіцієнта еластичності.

6) довірчого інтервалу

Виконання:

1) на основі вихідних даних х та у будуємо діаграму розсіювання (емпіричну лінію регресії) та визначаємо форму зв'язку між ознаками X та Y (рисунок 5.1).

Зовнішній вигляд емпіричної лінії регресії нагадує графік прямої. Добудувавши лінію тренду (лінійну) і скориставшись функціями програми Excel отримаємо рівняння побудованої лінії у=1,8976х+6,6546. Отже, параметри лінійної регресії становлять:

а₁=1,8976 - показує кут нахилу прямої регресії до осі абсцис і що при зміні фактора на одиницю Yр буде змінюватись на 1,8976 у тому ж напрямку.

а₀=6,6546 - показує значення показника (y) при х=0 і що пряма регресії перетне вісь ординат у точці 6,6546

Рисунок 5.1 –Діаграма розсіювання і побудована лінія регресії

2) для перевірки знайденої економетричної моделі на адекватність знайдено розрахункове значення критерію Фішера Fрозр=503, що є більшим за табличне F_табл (0,05;1;8)=5,32, знайдене за ймовірності 95% і ступенями вільності k1=m=1, k2=n-m-1=10-1-1=8 (де n - кількість спостережень, m –число включених у регресію факторів, що чинять суттєвий вплив на показник), а отже модель адекватна вихідним даним;

3) за результатами розрахунків загальна дисперсія, тобто рівень відхилень між фактичними значеннями ряду і їх середнім значенням становить ЗД=7,72; пояснювальна дисперсія (частина загальної дисперсії, що пояснюється регресією) становить ПД=7,6; залишкова дисперсія (частина загальної дисперсії, що не пояснюється регресією) ЗалД=0,1.

4) коефіцієнт детермінації R²=0.9843, тобто доля пояснювальної дисперсії у загальній дисперсії становить 0,9843 або 98,43%, що свідчить про тісний зв’язок між фактором і показником.

Коефіцієнт кореляції r=0.9921, тобто наближається до 1, а це значить, що регресія характеризується прямою залежністю показника у та х і при збільшенні фактора значення показника y теж зростатиме.

5) коефіцієнт еластичності розрахований за формулою ,

і показує на скільки відсотків зміниться показник, якщо фактор зміниться на 1%.

6) В результаті розрахунку довірчого інтервалу можна стверджувати, що при значенні фактора Хр =7,05 показник з ймовірністю 95% буде знаходитись в межах від 18,96 (нижня межу довірчого інтервалу ) до 21,11 (верхня межу довірчого інтервалу ).

При цьому t – табличне значення критерію Студента, що становить t(0.95;8)=2,228, знайдене з таблиць в залежності від ймовірності P=95% і ступеня вільності k=n-m-1=8).

Основні питання для самоперевірки

1. Опишіть алгоритм дослідження парної лінійної регресії.

2. Які висновки можна зробити на основі параметрів регресії?

3. Опишіть оцінку значущості параметрів регресії.

4. Дайте характеристику дисперсіям та наведіть формули розрахунку.

5. За яким коефіцієнтом здійснюють оцінку щільності зв’язку? Наведіть формулу розрахунку.

6. Опишіть оцінку значущості параметрів регресії.

7. За яким критерієм здійснюють оцінку адекватності моделі? Опишіть процедуру оцінки та формули розрахунку критерію.

8. Дайте визначення поняттям «точковий» і «інтервальний» прогнози.

Таблиця 5.1 - Приклад розрахунку лінійної регресії

№	Yі	Xі	X*Y	X2	Yp	(Y-Yp)2	(Y-Yc)2	(Yp-Yc)2	Kel	(X-Xc)2	ΔY	Ymax	Ymin
1	10.89	2.06	22.43	4.244	10.56	0.107	16.51	19.27	0.37	5.35	1.04	11.61	9.52
2	11.92	2.58	30.75	6.656	11.55	0.137	9.20	11.58	0.42	3.2148	1.00	12.55	10.55
3	12.45	3.14	39.09	9.86	12.61	0.027	6.27	5.48	0.47	1.5203	0.97	13.58	11.64
4	13.27	3.54	46.98	12.53	13.37	0.010	2.83	2.50	0.50	0.6939	0.95	14.33	12.42
5	14.12	4.18	59.02	17.47	14.59	0.218	0.69	0.13	0.54	0.0372	0.94	15.53	13.65
6	15.25	4.78	72.9	22.85	15.73	0.226	0.09	0.60	0.58	0.1656	0.94	16.67	14.78
7	16.07	5.11	82.12	26.11	16.35	0.079	1.25	1.96	0.59	0.5432	0.95	17.30	15.40
8	17.40	5.67	98.66	32.15	17.41	0.000	5.99	6.06	0.62	1.6822	0.97	18.39	16.44
9	18.68	6.02	112.5	36.24	18.08	0.362	13.89	9.77	0.63	2.7126	0.99	19.07	17.09
10	19.48	6.65	129.5	44.22	19.27	0.043	20.49	18.67	0.65	5.1847	1.04	20.31	18.23
11	Xр	7.05			20.03				0.67	7.1663	1.08	21.11	18.96
∑	149.5	43.73	693.9	212.3	150	1.2	77.206	75.995		21.105
			Критерій
	Параметри:		Фішера		Дисперсії:
	а1=	1.8976	S2=	0.2	ЗД=	7.72	R2=	0.9843
	а0=	6.6546	s2=	76	ПД=	7.6	r=	0.9921
			F=	503	ЗалД=	0.1	S=	0.38854