Лабораторна робота № 2 симплекс метод, двоїста задача

Прямий симплекс метод

Завдання: На основі даних таблиці 2.1 знайти оптимальний план виробництва продукції, який забезпечить отримання максимального прибутку.

Таблиця 2.1 Вихідні дані для розвязку

Верстати	Види деталей та витрати часу одну деталь				Фонд часу bj, год
	В1	В2	В3	В4
А1	2	4	8	7	4N1
А2	N1+2	3	N2+1	5	12
А3	5	N2	3	0	20
Прибуток сj, грн./од.	3	5+N1	4	N2

Методичні рекомендації до виконання роботи

Симплекс метод в порівнянні з графічним методом забезпечує більш раціональне рішення задачі. Розпочинаючи з будь-якої вершини багатокутника, твореного обмеженнями, переходять до розрахунку тільки тієї вершини, в якій значення лінійної форми буде більшим, чим в попередніх. Решту варіантів не обчислюють. Тоді при кінцевому числі кроків може бути найдений оптимальний план. Таким чином, виконується впорядкований перебір вершин, при яких відбувається постійне збільшення лінійної форми. Тому симплекс-метод також називають методом послідовного покращення оптимального плану. Рішення задачі симплекс-методом включає в себе два етапи. Спочатку потрібно найти вершину багатокутника обмежень, координати якої визначають початковий опорний план. Потім послідовно переходимо від однієї вершини багатокутника до іншої, яка сусідня попередній. Так як прилеглих вершин багато, то кожний раз вибирається така вершина, при переході до якої забезпечується найбільший приріст лінійної форми. На кожному кроці процесу покращення плану виконується перевірка на оптимальність. Очевидно, що план буде оптимальний, якщо серед вершин, які прилягають до даної, немає такої, при переході до якої відбувається ріст лінійної функції.

За звичай, симплекс-метод реалізується у вигляді симплекс-таблиць. У першому стовпчику цієї таблиці зазначають вектори, які входять в базис. У другому – коефіцієнти цільової функції, які відповідають векторам, що входять в базис. Третій стовпчик – компоненти опорного плану.

Головною перевагою симплекс-методу є його універсальність, будь-яку задачу лінійного програмування можна з легкістю вирішити як за допомогою програмного забезпечення так і вручну. Якщо обчислення і створення симплекс-таблиць пишеться вручну, то єдиною трудністю може стати обчислення: якщо велика кількість обмежень через неуважність можна отримати хибне рішення.

Двоїстий симплекс-метод

Завданя: Визначити максимальне значення можливих функцій, знайти значення цільової функції.

Двоїстий симплекс-метод і симплекс-метод за алгоритмом досить схожі. Однак двоїстий симплекс-метод можна застосовувати при рішенні задач лінійного програмування, вільні члени системи рівнянь якої можуть бути будь-якими числами (при розв’язку задачі симплексним методом ці числа передбачалися додатніми).

Нехай за умовою задачі потрібно визначити максимальне значення функції:

(2.1)

Нехай

(2.2)

де - одиничні вектори.

Для того, щоб вирішити задачу двоїстим симплекс-методом потрібно виконати дві умови. Спочатку необхідно знайти так званий псевдо план задачі. Рішення системи лінійних рівнянь(2.2), приймаючи до уваги базис(одиничні вектори), називається псевдопланом задачі, якщо всі умови даної системи задоволені. Потім рішення зводиться до перевірки отриманого псевдоплану. Якщо він оптимальний, то отримане значення і є розв’язком задачі. Якщо ж ні, то потрібно знову встановлювати псевдоплан. Після цього, вибирають рядок, що дозволяє, за допомогою визначення найбільшого по абсолютній величині негативного числа стовпця вектора і результуючого стовпчика, знаходження найменшого по абсолютній величині відношення елементів ( ) і рядка до відповідного негативним елементам результуючого рядка. Знаходять новий псевдоплан і цикл розв’язку задачі повторюється.

В порівнянні з методами, описаними раніше, двоїстий симплекс-метод дає змогу розв’язувати задачі лінійного програмування, системи обмежень яких при додатньому базисі містять вільні члени будь-якого знаку. Цей метод дозволяє зменшити кількість перетворень системи обмежень, а також розміри симплексної таблиці.

Розв’язок задачі можна отримати у програмному забезпеченні Excel , що зводиться до таких кроків.

1. Заповнити таблицю вхідних даних :

В клітинку А8 заносимо значення цільової функції: =СУММПРОИЗВ(Н2:Н5;В2:В5).

Перший масив складається із значень прибутку від реалізації кожної деталі, другий – із значень змінних х_і. У клітки С8:Е8 вводимо ліві частини нерівностей системи. У клітку С8 вводимо формулу =СУММПРОИЗВ(С2:С5; $B2:$B5), а у клітки D8 і Е8 – відповідно =СУММПРОИЗВ(D2:D5; $B2:$B5); =СУММПРОИЗВ(E2:E5; $B2:$B5).

У режимі відображення формул вхідні дані будуть виглядати наступним чином:

В меню Сервис вибираємо Поиск решения, де заповнюємо:

3. Запускаємо команду на рахунок, за допомогою Выполнить, після чого на екрані з’являється вікно Результаты поиска решения, у якому зберігаємо результати розрахунків.

Основні завдання і запитання для самоперевірки

1. Сформулюйте математичну постановку задачі завантаження виробничої потужності. Економічна суть цільової функції та обмежень.

2. Суть симплекс-методу розв”язання задачі лінійного програмування. Економічна інтерпретація значень симплекс-таблиці розв”язку.

3. Загальна схема розв”язання задачі завантаження виробничої потужності в програмному забезпеченні Excel.

4. В чому полягає суть двоїстої задачі лінійного програмування?

5. Поясність значення додаткових змінних в прямій задачі лінійного програмування.

6. Поясність значення додаткових змінних в двоїстій задачі лінійного програмування та взаємозв’язок із прімою задачею.