7.9. Силы и потенциальная энергия
Зная действующие силы как функции
координат материальных точек системы,
можно вычислить ее потенциальную
энергию. Можно поставить и обратную
задачу: вычислить действующие силы по
заданной потенциальной энергии как
функции координат взаимодействующих
материальных точек. Рассмотрим сначала
отдельную материальную точку, находящуюся
в силовом поле каких-то неподвижных
тел. Если силы потенциальные, то можно
ввести потенциальную энергию
,
которой обладает материальная точка в
рассматриваемом силовом поле. Величина
будет функцией радиус-вектора этой
материальной точки или ее координат
.
Пусть точка претерпела бесконечно малое
перемещение
.
Если
- сила, действующая на нее, то работа
этой силы при таком перемещении равна
убыли потенциальной энергии.
.
(7.14)
Это равенство справедливо, каково бы
ни было перемещение, и является одним
из основных соотношений механики. Если
функция
известна, то оно полностью определяет
силу
по величине и направлению. В самом деле,
чтобы найти вектор
,
достаточно определить его проекции
на координатные оси прямоугольной
системы координат. В этих проекциях
уравнение (7.14) запишется так:
.
Допустим, что смещение происходит вдоль какой-либо одной координатной оси, например, оси . Тогда
,
и, следовательно,
.
Индексы
означают, что при смещении, а, следовательно,
и при дифференцировании координаты
и
должны оставаться постоянными. Иными
словами,
при дифференцировании должна
рассматриваться как функция одного
аргумента
,
остальные два аргумента
и
являются параметрами, которые при
дифференцировании по
должны оставаться постоянными. Величины,
получающиеся в результате такого
дифференцирования, называются частными
производными функции
.
Аналогичные соображения справедливы
и для проекций силы вдоль остальных
двух осей
и
.
Таким образом,
,
,
(7.15)
Если функция
известна, то нахождение проекций силы
сводится к вычислению ее частных
производных по координатам. Разумеется,
формулы (7.15 ) относятся только к случаю
потенциальных сил. Три формулы (7.15) можно
объединить в одну векторную формулу. С
этой целью умножим эти формулы на
единичные векторы координатных осей
и сложим. В результате получим
,
(7.16)
где символом
обозначена сумма
.
(7.17)
Она, согласно (7.17), является вектором. Для вектора градиента часто применяют другое обозначение
,
где
-
означает символический вектор или
оператор, называемый набла-оператором
.
Формально
можно рассматривать как произведение
символического вектора
но скаляр
.
Д
ля
уяснения геометрического смысла
градиента полезно ввести поверхности
уровней, то есть такие поверхности, на
которых скаляр
остается постоянными. Пусть
- одна из таких поверхностей и пусть
градиент ищется в точке 1, лежащей на
этой поверхности (рис.7.7). Поместим в
этой точке начало координат. Ось
направим по нормали к поверхности уровня
,
проведя единичный вектор
в сторону возрастания
.
Координатные оси
и
располагаются в плоскости, касательной
к поверхности уровня
.
Ясно, что при таком выборе координатных
осей частные производные
и
в рассматриваемой точке пространства
обратятся в нуль так, что в формуле
(7.17) останется только первое слагаемое:
.
Изменим теперь обозначение. Единичный
вектор нормали к поверхности уровня
обозначим символом
и расстояние между двумя бесконечно
близкими поверхностями уровня
и
измеренное вдоль нормали, символом
.
Тогда очевидно
.
Эту величину называют производной
скаляра
в направлении нормали к поверхности
уровня. В этом направлении величина
,
очевидно, изменяется наиболее быстро.
Таким образом, в новых обозначениях
формула (7.17) примет вид
.
Отсюда видно, что градиент функции есть вектор, направленный по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания , его длина численно равна производной по нормали функции к той же поверхности. Преимущество такого определения по сравнению с определением (7.17) состоит в том. что содержит только величины и понятия, имеющие непосредственный геометрический смысл и не содержит ничего такого, что вносится случайным выбором координатной системы.
Отметим еще одну простую, но важную формулу. Перепишем (7.14) в виде
.
Отсюда следует
.
То есть проекция силы на некоторое
направление равна производной от
по этому направлению. Из последней
формулы можно сделать заключение о
направлении силы. Если в некотором
направлении потенциальная энергия
возрастает
,
то проекция силы на это направление
будет отрицательной, то есть сила будет
иметь направление, в котором потенциальная
энергия убывает. Сила всегда направлена
в сторону уменьшения потенциальной
энергии. Так как, производная обращается
в нуль в точках максимума или минимума,
то сила в местах максимума и минимума
потенциальной энергии равна нулю.
Формулы (7.15) тривиальным образом обобщаются на случай произвольной системы материальных точек с одними только потенциальными силами. В этом случае потенциальная энергия является функцией координат всех взаимодействующих точек. Вместо (7.15) следует писать
,
,
.
Здесь
- координаты
-ой
материальной точки системы, а
- проекции действующей на нее силы. Номер
может пробегать все возможные значения,
так как формулы справедливы для каждой
точки системы.