6.4. Система центра масс

Во многих задачах физики нас интересует не движение системы как целого, а лишь относительное движение частиц внутри системы. В этом случае целесообразно пользоваться системой отсчета, в которой центр масс покоится. Это существенно упрощает и анализ явления и математические расчеты. Систему отсчета, жестко связанную с центром масс и перемещающуюся поступательно по отношению к инерциальным системам отсчета называют системой центра масс или Ц-системой.

Отличительной особенностью Ц-системы является то, что полный импульс системы частиц в ней всегда равен нулю. Это непосредственно следует из формулы , так как в Ц-системе . Другими словами, любая система частиц, как целое, покоится в своей Ц-системе. Для замкнутой системы частиц ее Ц-система является инерциальной, для незамкнутой - в общем случае неинерциальной.

В качестве примера рассмотрим систему из двух частиц. Пусть массы частиц равны и , а их скорости в некоторой системе отсчета - и соответственно. Найдем импульсы этих частиц в Ц-системе.

, ,

где - скорость Ц-системы относительно исходной системы отсчета. После подстановки в эти выражения скорости движения центра масс системы , получим

, .

Видно, что импульсы обеих частиц в Ц-системе одинаковы по модулю и противоположны по направлению, то есть полный импульс системы равен нулю. Полученные результаты справедливы независимо от того замкнута эта система или нет, а также независимо от наличия взаимодействия между частицами.

7. Работа и энергия

7.1. Работа и кинетическая энергия

Если под действием силы тело, двигаясь вдоль траектории, совершает перемещение , то его состояние изменяется (его скорость, его положение относительно других тел и т.д.). Действие силы характеризуется величиной называемой работой.

Р ассмотрим сначала одномерный случай, когда сила действует вдоль оси и движение происходит вдоль этой оси. Тогда при смещении материальной точки на сила совершает над ней элементарную работу . Если точка смещается из положения в положение , и сила не является постоянной в этом интервале, то работа силы в этом случае равна

. (7.1)

Интеграл представляет сумму элементарных работ, которые совершаются при элементарных перемещениях, на которых действующую силу можно считать постоянной. Это можно пояснить на основе графика функции . Если величина силы не остается постоянной во время движения, то для вычисления работы необходимо весь интервал между точками и разбить на столь маленькие отрезки , чтобы на каждом из них силу можно считать постоянной и равной некоторому значению (при этом неважно, в какой точке интервала берется значение ). Элементарная работа на участке равна . Из рис.7.1 видно, что численно эта работа равна площади заштрихованной полосы. Полная работа силы при перемещении материальной точки из в будет равна сумме этих работ

.

При устремлении длин всех интервалов к нулю, а их числа — к бесконечности, получим точное значение работы

.

Полная работа численно равна площади фигуры, ограниченной кривой , вертикальными прямыми в точкам и и осью . В этом заключается геометрический смысл интеграла, стоящего в правой части равенства.

Если перемещение материальной точки не совпадает с направлением силы (рис.7.2), то работу производит составляющая силы вдоль перемещения. Элементарная работа силы при перемещении на может быть представлена в виде.

.

Поскольку элементарное перемещение точки является вектором, и сила тоже вектор, то элементарная работа может быть представлена в виде их скалярного произведения

.

Полная работа при перемещении точки из положения 1 в положение 2 вдоль кривой находится аналогично тому, как это сделано в одномерном случае

. (7.2)

Интеграл в правой части представляет криволинейный интеграл, взятым вдоль линии , между точками 1 и 2. В обозначении пределов интегрирования показано в каком направлении материальная точка передвигается вдоль кривой (в данном случае от точки 1 к точке 2). Если материальная точка будет передвигаться вдоль от точки 2 к точке 1, то пределы интегрирования следует поменять местами. При этом изменится только знак интеграла.

Материальная точка может перейти из положения 1 в положение 2, двигаясь по другой кривой . Совершаемая при этом работа будет отлична от , в общем случае работа зависит от того, как меняется состояние. Любое изменение состояния называется процессом. Таким образом в общем случае работа является функцией процесса. Иными словами работа, совершаемая при перемещении частицы, в общем случае зависит от формы ее траектории. Следует отметить еще одно важное обстоятельство: формула (7.2) справедлива не только для частицы, но и для любого тела (или системы тел). Надо только иметь ввиду, что под понимается перемещение точки приложения силы. Игнорирование этого обстоятельства зачастую приводит к ошибочным результатам.

Если на частицу действует не одна, а несколько сил, то есть , то проецируя векторное равенство на направление элементарного перемещения , получим

,

следовательно

.

Таким образом, элементарная работа результирующей нескольких сил равна сумме элементарных работ этих сил. Очевидно, что это же утверждение справедливо и для работы сил при конечных перемещениях

.

Единицей работы в системе СИ является Джоуль (Дж). Джоуль - работа силы величиной в один ньютон на перемещении в один метр при условии, что направление силы совпадает с направлением перемещения. В системе СГС единицей работы является Эрг. Эрг - это работа силы величиной в одну дину на перемещении в один сантиметр при условии, что направление силы совпадает с направлением перемещения, .

Для характеристики скорости, с которой совершается работа, вводят величину, называемую мощностью. Мощность - это работа, совершаемая за единицу времени.

.

Мощность измеряется в Ваттах, , или .

Итак, при перемещении материальной точки из положения 1 в положение 2 под действием силы работа этой силы равна . Но по второму закону Ньютона и, следовательно, используя это уравнение, можно от величины, характеризующей действие силы, перейти к некоторой величине, характеризующей состояние материальной точки или их системы

,

где - элементарное приращение вектора скорости. Очевидно, что

. (7.3)

Дифференцируя обе части этого выражения, получим , где - элементарное приращение модуля вектора скорости, оно не равно в общем случае модулю элементарного приращения вектора скорости. Используя (7.3), получим , и

,

где - начальная, а - конечная скорости частицы. Индекс 12 означает, что речь идет о работе по перемещению материальной точки из начального положения 1 в конечное положение 2. Cледовательно, работа всех действующих на материальную точку сил идет на приращение некоторой величины, характеризующей состояние материальной частицы. Величина

называется кинетической энергией материальной точки. С помощью этого понятия, полученный результат может быть записан:

,

то есть работа сил при перемещении материальной точки равна приращению кинетической энергии этой точки.

Полученный результат без труда обобщается на систему материальных точек. Для -oй материальной точки системы приращение кинетической энергии равно работе всех сил, действующих на нее . Поэтому работу , которую совершают все силы, действующие на все точки системы при изменении ее состояния, можно записать

или

,

где - суммарная кинетическая энергия всей системы.

Итак, приращение кинетической энергии системы равно работе, которую совершают все силы , действующие на все частицы системы. Заметим , что кинетическая энергия - величина аддитивная: она равна сумме кинетических энергий отдельных частей системы, независимо от того взаимодействуют они между собой или нет.