3.5. Система релятивистских частиц

До сих пор мы ограничивались рассмотрением поведения одной частицы. В отличие от динамики одной частицы, построение динамики системы частиц в теории относительности является гораздо более сложной задачей. Тем не менее и в этом случае можно установить ряд важных общих законов.

Если нас интересует движение системы как целого, то, отвлекаясь от внутренних процессов в системе и пренебрегая ее пространственной протяженностью, систему можно считать одной материальной точкой – частицей. Поскольку это так, систему релятивистских частиц как целое можно характеризовать полной энергией E, импульсом и массой покоя M₀ системы как целого. В общем случае, если система состоит из взаимодействующих релятивистских частиц, ее полная энергия

,

где – полная энергия i-й частицы (в эту величину не включается энергия взаимодействия с другими частицами); W – суммарная энергия взаимодействия частиц системы. В ньютоновской механике W представляет собой потенциальную энергию взаимодействия частиц системы – величину, зависящую при данном характере вза­имо­действия только от конфигурации системы. В релятивистской же динамике оказывается не существует понятия потенциальной энергии взаимодействия частиц. Это обусловлено тем обстоятельством, что само понятие потенциальной энергии тесно связано с представлением о дальнодействии (мгновенной передаче взаимодействия). Потенциальная энергия является функцией конфигурации системы и в каждый момент времени определяется относительным расположением частиц системы. Изменение конфигурации системы должно мгновенно вызвать изменение и потенциальной энергии. Так как в действительности этого нет (взаимодействия передаются с конечной скоростью), то для системы релятивистских частиц понятие потенциальной энергии взаимодействия не может быть введено.

В общем случае написать выражение для энергии взаимодействия W, а следовательно и для полной энергии E системы взаимодействующих релятивистских частиц не представляется возможным. Это же относится и к импульсу системы, так как в релятивистской динамике импульс не является величиной, не зависимой от энергии E. Так же сложно обстоит дело и с массой покоя M₀ системы, о которой в общем случае можно сказать только одно: это масса в системе отсчета, где данная система как целое покоится, то есть в системе отсчета, связанной с центром масс системы (Ц-система).

Вследствие указанных трудностей, построение динамики системы релятивистских частиц ограничено сравнительно немногими простейшими случаями, на двух из которых мы и остановимся. Это система из невзаимодействующих релятивистских частиц и важный в практическом отношении случай столкновения частиц.

3.6. Система невзаимодействующих частиц

В этом случае полная энергия E системы и импульс обладают аддитивными свойствами, и для системы частиц их можно представить в виде

, ,

где m_i и – релятивистская масса и импульс i-й частицы системы. Так как взаимодействия нет, то скорости всех частиц постоянны, а следовательно, постоянны во времени полная энергия и импульс всей системы.

Введем понятие энергии покоя E₀ системы частиц как полной энергии ее в Ц-системе, где суммарный импульс , и система как целое покоится. Таким образом,

,

где – полная энергия i-й частицы в Ц-системе. Это значит, что в энергию покоя системы входит кроме энергии покоя каждой частицы и их кинетическая энергия в Ц-системе:

.

Это же относится, очевидно, и к массе покоя

.

Отсюда, в частности, следует, что масса покоя системы не равна сумме масс покоя отдельных частиц, а именно,

.

Введение энергии и массы покоя системы позволяет рассматривать систему невзаимодействующих релятивистских частиц как одну частицу с полной энергией , импульсом и массой покоя и утверждать, что для систем частиц будут справедливы выражения

,

,

где – скорость центра масс системы. Эту скорость можно представить в следующем виде

,

где m_i – релятивистская масса i-й частицы системы. Заметим, что по форме последнее выражение совпадает с соответствующим нерелятивистским выражением для скорости центра масс системы.