3.3. Четырехмерные векторы

Геометрическая интерпретация объединения трехмерного пространства и времени в четырехмерное многообразие имеет глубокий физический и математический смысл. Формулы Лоренца принимают симметричный вид и рассматриваются как формулы преобразования координат при вращении четырехмерной координатной системы. Обозначим координаты мировой точки (события) через x₁=x; x₂=y; x₃=z; x₄=ict. Тогда формулы преобразования Лоренца можно представить в виде:

,

,

,

.

Коэффициенты образуют матрицу преобразований

.

Положение мировой точки в четырехмерном пространстве-вре­ме­ни можно задать с помощью радиус-вектора с компонентами и . Вектор называется четырехмерным вектором, компоненты которого , преобразуются по формулам

.

Непосредственной проверкой можно показать, что коэффициенты удовлетворяют следующим важным соотношениям:

,

.

Преобразования координат с коэффициентами , удовлетворяющими этим соотношениям, называются ортогональными. Важным свойством этих преобразований является неизменность значения квадрата этого четырехмерного вектора, который является инвариантом:

.

Пространственные составляющие можно объединить в обычный трехмерный вектор , тогда четырехвектор можно представить в виде пространственной и временной составляющих , а инвариант записать как

.

Рассмотрим применение четырехмерного вектора для решения ряда задач. Определим четырехмерный вектор импульса-энергии. Пусть частица движется со скоростью в системе S. Компоненты импульса в этой системе равны

, , .

Найдем выражения для этих компонент в системе S'. Это легко сделать, если показать, что четырехмерный вектор с компонентами и преобразуется как вектор с компонентами x, y, z, ict. Для этого воспользуемся собственным временем, которое является инвариантом .

Тогда

,

,

,

.

В правой части этих соотношений – инварианты, поэтому левые части преобразуются как компоненты четырехмерного вектора (x, y, z, ict) по формулам

, , .

Инвариантом этого четырехмерного вектора является величина

.

Для покоящейся частицы , поэтому можно записать

,

отсюда

.

Эти формулы являются следствием того, что совокупность величин , образуют четырехмерный вектор.

Тем самым в теории относительности законы сохранения энергии и импульса перестают быть независимыми, а объединяются в единый закон сохранения четырехмерного вектора энергии-импульса.

Для системы невзаимодействующих частиц, а также частиц, взаимодействующих только при столкновениях, четырехмерный вектор энергии-импульса определяется как сумма четырехмерных векторов энергии-импульса этих частиц.

Так как при любых столкновениях сохраняется трехмерный вектор импульса, то должна сохраняться и временная компонента этого вектора. Вместе с энергией сохраняется и релятивистская масса, только она может по разному распределяться между массой покоя и массой, связанной с кинетической энергией макроскопического движения.

3.4. Преобразование сил в релятивистской механике

Закон преобразования силы при переходе от одной системы координат к другой можно получить, исходя из релятивистской инвариантности уравнения движения. Пусть, как обычно, система координат S' движется относительно системы S в направлении положительных значений оси x со скоростью . Рассмотрим движение материальной точки под действием сил. Пусть проекции силы в системе координат S' равны (F'_x, F'_y, F'_z), а в S – (F_x, F_y, F_z). В общем случае соответствующие проекции этих сил в различных системах координат не равны между собой. Однако между ними имеются вполне определенные соотношения, обеспечивающие инвариантность уравнений движения, то есть их одинаковый вид в различных системах координат:

, , ; (3.3)

, , .

Левые части этих уравнений преобразуем с помощью формул теории относительности для импульса и преобразований Лоренца:

, , ,

где E'=m'c² – полная энергия материальной точки.

Формулы (3.3) теперь приведутся к виду

(3.4)

Далее воспользуемся формулой

, (3.5)

где – скорость точки в системе S'. Эта формула выражает закон сохранения энергии в системе координат S'. Найдем, исходя из преобразований Лоренца, производную

.

Тогда соотношения (3.4) приведутся к виду

(3.6)

И, наконец, воспользуемся релятивистскими формулами сложения скоростей:

, , . (3.7)

Если подставить (3.7) в (3.6), то мы придем к следующему закону преобразования сил:

(3.8)

Таким образом мы выразили силу в системе координат S через силу в системе S'. По принципу относительности нетрудно написать и обратные формулы преобразования. При выводе этих формул не делалось никаких предположений о свойствах исходных сил – они могут зависеть от координат, времени и скорости. Полученные формулы показывают, что зависимость сил от скорости в релятивистской теории неизбежна: даже если в какой- то системе координат ее нет (например, F'_x, F'_y, F'_z не зависят от скорости), в других системах она неизбежно появляется (в данном случае F_x, F_y, F_z зависят от скорости u_x, u_y, u_z частицы).

Запишем формулы преобразования сил в векторной форме. Для этого введем следующие обозначения:

,

.

С помощью этих формул формулы преобразования (3.8) записываются в виде векторного равенства

. (3.9)

Последнее равенство справедливо для любых значений .