13)Определение вектора абсолютной скорости точки при сложном движении.

Здесь мы рассмотрим как вычисляется абсолютная скорость точки, участвующей в сложном движении, доказав при этом теорему об абсолютной производной вектора.

Положение точки M и начала подвижной системы координат точки A в неподвижной системе координат определим радиус-векторами r и rA, положение точкиM в подвижной системе координат определим радиус-вектором ρ, который известен в проекциях на оси подвижной системы координат, т.е. ρ = x1i1 + y1j1 + z1k1. На рис. 105 мы видим, что r = rA + ρ. Аналогичное выражение было получено и для движения свободного твердого тела (п. 40). Однако в нашем случае точка Mсвободно перемещается в подвижной системе координат, ее радиус-вектор изменяется не только по направлению, но и по величине: ρ <>const.

Дифференцируя по времени выражение r находим абсолютную скорость точки, которая характеризует быстроту изменения положения точки в неподвижной системе координат:

(1)

где  A - абсолютная скорость начала подвижной системы координат; dρ / dt является производной вектора ρ, известного в подвижной системе координат, которую находят в неподвижной системе координат и называют абсолютной производной вектора ρ.

Найдем абсолютную производную вектора ρ:

(2)

Учитывая, что единичные векторы подвижной системы координат изменяют свое направление в пространстве, но постоянны по величине, используем формулу Эйлера для вычисления их производных, согласно которой

где ω - угловая скорость вращения подвижной системы координат в неподвижной. Поэтому сумма последних трех слагаемых в (2) равна

(3)

Первые три слагаемых в (2) характеризуют быстроту изменения вектора ρ в подвижной системе координат и их сумма называется относительной или локальной производной:

(4)

Подставляя выражения (3) и (4) в (2), получаем

(5)

Заметим, что если ρ = const, из (4) следует равенство нулю относительной производной вектора ρ, а из (5) получается формула Эйлера.

То есть мы показали справедливость формулы Эйлера и для векторов постоянных по величине, известных в произвольно двигающихся системах координат, так как здесь на движение подвижной системы координат никакие ограничения не накладывались.

Выражение (5) можно распространить и на любой другой вектор, известный в подвижной системе координат, например, b :

(6)

а затем сформулировать теорему об абсолютной производной вектора, которую иногда называют теоремой о локальной производной.

Абсолютная производная вектора равна сумме относительной (локальной) производной вектора и векторного произведения угловой скорости подвижной системы координат на сам этот вектор.

Вернемся к доказательству теоремы о сложении скоростей. Относительная производная в (5) характеризует быстроту изменения положения точки M в подвижной системе координат и является по понятиям сложного движения точки ее относительной скоростью, а угловая скорость подвижной системы координат является угловой скоростью переносного движения, то есть

(7)

Подставляя (7) в выражение (1), имеем

(8)

Выделим переносную скорость точки, используя прием замораживания. Тогда после останова точки ее относительная скорость равна нулю Vr = 0, а абсолютная скорость равна ее переносной скорости V = Ve, так как остановленная в относительном движении точка (вмороженная в подвижную систему координат) продолжает перемещаться в неподвижной системе координат за счет переносного движения подвижной системы координат. Учитывая это, из выражения (8) имеем

(9)

Сравнивая выражение (9) с формулами (2) в п. 35 и (4) в п. 40 для плоского движения твердого тела и движения свободного твердого тела, мы видим, что переносная скорость материальной точки представляет собой скорость той точки подвижной системы координат, где в данный момент времени находится (вморожена) материальная точка.

Подставляя (9) в (8) получаем математическую запись теоремы о сложении скоростей точек:

(10)

Откуда следует формулировка теоремы.

Абсолютная скорость точки, участвующей в сложном движении, равна геометрической сумме ее относительной и переносной скоростей.