41. Решение двух основных задач динамики материальной точки.

Первая задача.

Зная массу точки и ее движение, найти силы, действующие на точку или их равнодействующую. Решение этой задачи в общем виде осуществляется следующим образом.

Пусть составлены или используются дифференциальные уравнения движения материальной точки в координатной форме. Известно и движение материальной точки: x = x(t); y = y(t); z = z(t).

Согласно уравнениям (4) предыдущего параграфа, дважды дифференцируя законы движения точки, находим проекции ускорения на оси координат: ax = x''; ay = y''; az = z'', а затем проекции равнодействующей: Fx = mx''; Fy = my''; Fz = z''. Зная проекции равнодействующей на оси прямоугольной системы координат, находим величину равнодействующей: (1)

а ее направление определяем тремя направляющими косинусами: (2)

Если составлены или используются дифференциальные уравнения движения в естественной форме и известно движение точки по траектории s = s(t), то, согласно уравнениям (6) п. 1, вначале находим проекции ускорения на естественные оси aτ = s'' и an = s'2 / ρ, если радиус кривизны известен, а затем проекции равнодействующей, лежащей в соприкасающейся плоскости, равные: Tτ = ms''; Fn = ms'2 / ρ. Модуль равнодействующей и ее направление определяем по следующим формулам: (3)

где α - угол между равнодействующей F и ее нормальной составляющей Fn.

Для определения всех сил по найденной равнодействующей нужно знать ряд дополнительных условий. Так, например, при решении первой задачи динамики несвободной материальной точки нужно знать направления реакций связей, которые в большинстве случаев можно определить, зная свойства связей. Эти свойства подробно рассмотрены в статике. Если на точку действует одна активная сила, то формулы (1) - (3) полностью определяют вектор этой силы.

Вторая задача.

Зная приложенные к точке силы, а также ее массу, определить ее движение, описываемое кинематическими уравнениями. Решая задачу в прямоугольной системе координат, когда используются уравнения (4) из предыдущего параграфа, мы, чтобы найти кинематические уравнения движения x = x(t); y = y(t); z = z(t), должны проинтегрировать систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. Если система уравнений интегрируется, то множество ее решений будет функциями времени и шести постоянных интегрирования: x = x(t, C1, C2, ... C6); y = y(t, C1, C2, ... C6); z = z(t, C1, C2, ... C6) (4)

Чтобы найти единственное решение системы, нам нужно задать или определить по условиям задачи шесть начальных условий. Этими начальными условиями являются координаты и проекции скорости точки в начальном положении в начальный момент времени, который чаще всего принимается за начало отсчета времени, когда t0 = 0. Начальными условиями будут: x(0) = x0; y(0) = y0; z(0) = z0; x'(0) = V0x; y'(0) = V0y; z'(0) = V0z(5).

Для определения всех шести постоянных интегрирования дифференцируем по времени выражение (4), находя еще три соотношения, содержащие постоянные интегрирования: x' = x'(t, C1, C2, ... C6); y' = y'(t, C1, C2, ... C6); z' = z'(t, C1, C2, ... C6) (6)

Подставляя в (4) и (6) начальные условия при t = t0 = 0, получаем систему шести алгебраических уравнений для нахождения постоянных интегрирования. Находя из этой системы уравнений постоянные интегрирования и подставляя их в выражения (4) получаем единственное решение задачи, соответствующее начальным условиям. Заметим, что в ряде случаев дифференциальные уравнения допускают последовательное интегрирование и последовательное нахождение постоянных интегрирования.

При рассмотрении движения точки в естественной системе координат используются дифференциальные уравнения (6) предыдущего параграфа. Общее решение первого из этих уравнений имеет вид s = s(t, C1, C2). Начальными условиями движения в этом случае являются значения дуговой координаты и значение начальной скорости в начальный момент времени: s(0) = s0; s'(0) = V0. Определив на основании начальных условий постоянные интегрирования, подставив их в общее решение, находим единственное решение этого дифференциального уравнения или уравнение движения точки по траектории при заданных начальных условиях: s = s(t). Второе дифференциальное уравнение можно использовать для определения радиуса кривизны траектории ρ = ρ(t), подставляя в него первую производную по времени от найденного закона изменения дуговой координаты.

Таким образом, вторая задача динамики решается как задача Коши с заданными начальными условиями.