3.1.3 Формули наближеного інтегрування

3.1.3.1 Формула прямокутників

Геометричною інтерпретацією інтегралу від заданої функції є площа криволінійної трапеції, що обмежена прямими , , віссю абсцис та графіком функції. За наближене значення цієї площі можна взяти площу прямокутника зі сторонами:

, – формула лівих прямокутників;

, – формула правих прямокутників;

, – формула середніх прямокутників.

Рисунок 3.1 – Геометрична інтерпретація формули лівих прямокутників

Щоб збільшити точність обчислення інтегралу, відрізок розбивають на рівних відрізків, а площу криволінійної трапеції обчислюють як суму площин відповідних прямокутників. Для системи вузлів загальний вид формул прямокутників і їх геометрична інтерпретація наведені нижче.

Формула лівих прямокутників (рис.3.1):

(3.4)

Формула правих прямокутників (рис.3.2):

(3.5)

Рисунок 3.2 – Геометрична інтерпретація формули правих прямокутників

Формула середніх прямокутників (рис. 4.3)

(3.6)

Рисунок 3.3 – Геометрична інтерпретація формули середніх прямокутників

Приклад 3.1. Розрахувати інтеграл за формулою лівих прямокутників, .

Рішення.

0,0000 0,3927 0,7854 1,1781 1,5708	1,0000 0,6634 0,3960 0,1757 0,0000

Похибка:

3.1.3.2 Формула трапецій

Площа, що обчислюється, може бути представлена також у вигляді суми площин трапецій

; ; ...;

(3.7)

Рисунок 3.4 – Геометрична інтерпретація формули трапецій

Приклад 3.2. Розрахувати інтеграл за формулою трапецій, .

Рішення.

0,0000 0,3927 0,7854 1,1781 1,5708	1,0000 0,6634 0,3960 0,1757 0,0000

Залишковий член:

3.1.3.3 Формула Сімпсона (формула парабол)

Інтеграл являє собою суму площин під параболами, кожна з яких проводиться через три сусідні точки, тобто параболи займають два сусідніх відрізки, наприклад і . Це обумовлює необхідність парної кількості відрізків:

;

. (3.8)

Рисунок 3.5 – Геометрична інтерпретація формули парабол

Зауваження. Формула прямокутників є точною для багаточлена нульового ступеня, формула трапецій дає точне значення інтеграла, коли підінтегральна функція лінійна, формула Сімпсона є точною для многочленів до третього ступеня включно.

Приклад 3.3. Розрахувати інтеграл за формулою Сімпсона, .

Рішення.

0,0000 0,3927 0,7854 1,1781 1,5708	1,0000 0,6634 0,3960 0,1757 0,0000

Залишковий член: