6.8. Основные результаты раздела

В разделе изучены необходимые условия в задачах оптимального управления. Для задач без ограничений на управление опишем методы классического вариационного исчисления. Обобщённую задачу оптимального управления в этом случае формулируем следующим образом:

(6.124)

В этой задаче первое уравнение является уравнением эволюции системы, второе выражение – функционалом, выражающим критерий эффективности или цель управления, третье выражение – системой текущих ограничений на траектории, четвёртое – совокупностью терминальных ограничений в виде неравенств, включающей интегралы (изопериметрические составляющие), пятое выражение – совокупностью терминальных ограничений в виде равенств, которые в частном случае могут включать интегралы (изопериметрические составляющие). Последнее условие в частном (простейшем случае) приобретает вид граничных или краевых условий.

В общем случае полагаем, что определению подлежат и решение, т.е. оптимальная траектория и управление существуют. Полагаем также, что все используемые в постановке задачи функции , , дифференцируемы необходимое число раз. Тогда существуют такие, неравные нулю одновременно множители Лагранжа , причём непрерывно дифференцируема на , что справедливы соотношения:

- уравнение эволюции системы

(6.125)

- уравнение Эйлера-Лагранжа

, (6.126)

которое после ввода функции H

имеет вид

(6.126’)

- условия стационарности

(6.127)

или, используя функцию Н

; (6.127’)

- условия трансверсальности, которые при фиксированных границах обращаются в краевые условия

(6.128)

- условия трансверсальности из-за подвижности , (учитываются лишь в случае нефиксированных , )

(6.129)

(6.130)

или

(6.129’)

(6.130’)

- условия дополняющей нежёсткости

(6.131)

- условия неположительности

(6.132)

Алгоритм решения:

1⁰. Из уравнения (6.127) или (6.127’) (условия стационарности) находим управление в виде функции времени t, траектории и множителей Лагранжа , т.е.

.

2⁰. Подставляем в уравнение (6.125), (6.126,126’), (6.129,129’) - (6.132). Тогда для определения и получаем краевую задачу, образованную системой уравнений (6.125), (6.126, 126’) с граничными условиями (6.128), (6.129, 129’), (6.130, 130’) и соотношениями (6.131), (6.132).

3⁰. Строим общее решение , системы 2n уравнений (6.125), (6.126). Это общее решение зависит от 2n произвольных констант, а также от множителей Лагранжа и в общем случае от двух моментов времени и .

Число независимых компонент вектора констант не превосходит m₂, а для ­– не более m. Таким образом, общее решение системы (6.125), (6.126) зависит от 2n+m₂+m+2 постоянных, для определения которых имеется 2n условий (6.128), два условия (6.129,130) для и и, наконец, m условий (6.131) (m₂ - m₁ + m) равенств из (6.124). Следовательно, если решение существует, то оно однозначно определяется всем комплексом условий и постановкой.

Для задач с наличием ограничений на управление целесообразно использование принципа максимума Понтрягина, для которого задача формулируется в обобщённом виде таким образом:

(6.133)

(6.134)

(6.135)

(6.136)

. (6.137)

В общем случае полагаем, что определению подлежат , и решение, т.е. оптимальная траектория и управление , существуют. Полагаем также, что допустимыми решениями являются кусочно-непрерывное управление и кусочно-гладкая траектория, все функции, используемые в постановке задачи , , необходимое число раз дифференцируемы. Тогда существуют такие, неравные нулю одновременно векторы что справедливы соотношения:

- уравнение эволюции системы

(6.138)

- уравнение Эйлера-Лагранжа

, (6.139)

которые с использованием гамильтониана H имеют вид:

- условие максимума

, (6.140)

которое для управления во внутренних точках множества U может заменяться условиями стационарности

,

- условия трансверсальности, которые при фиксированных границах обращаются в краевые условия:

(6.141)

,

- условие трансверсальности из-за подвижности , (учитывается лишь в случае не фиксированных , )

, (6.142)

, (6.143)

- условие дополняющей нежёсткости

(6.144)

- условие неположительности

. (6.145)

Алгоритм решения:

1⁰. Составляем функцию Гамильтона

и определяем управление из условия максимума (6.140).

2⁰. Подставим найденное управление в уравнение эволюции системы (6.138) и в уравнение Эйлера-Лагранжа (6.139) и решаем полученную краевую задачу относительно и с использованием условий трансверсальности (6.141) - (6.143), дополняющей нежёсткости (6.144) и условия неположительности (6.145). При этом бывает удобно отдельно рассмотреть случай и .

3⁰. Подставим найденные решения , в выражения для и получим оптимальные программные управления. Как и для задач без ограничений, полученное управление является оптимальным, если решение исходной задачи управления существует, а решение краевой задачи единственно.

Условие общности положения. Для системы

выполнено условие общности положения, матрицы невырождены; здесь , а bj – столбцы матрицы В.

Теорема о конечности числа точек переключения. Если выполнено условие общности положения, то каждая компонента оптимального управления имеет конечное число точек переключения. Если, кроме того, все собственные значения матрицы А действительны, то число таких переключений не превосходит n-1.

Метод динамического программирования может быть использован для задачи Больца

Введём функцию Беллмана:

. (6.146)

Тогда оптимальное управление удовлетворяет уравнению Беллмана

(6.147)

где

и . (6.148)

Если минимум в уравнении (6.147) достигается во внутренней точке множества U, то это уравнение можно разбить на два:

(6.149)

. (6.150)

Если функции f, F₀ не зависят явно от времени t и t_f не ограничено, то S не зависит явно от t, т.е. , а следовательно,

Алгоритм решения:

1⁰. Решаем уравнение (6.148) относительно u и выражаем управление в зависимости от S, т.е. .

2⁰. Подставляем полученную зависимость в уравнение (6.149) и решаем дифференциальные уравнения в частных производных относительно S с учётом краевого условия (6.146). Получаем функцию Беллмана .

3⁰. Подставляем полученное в п.2 решение в функцию, полученную в п.1 . Оптимальное управление является в общем случае функцией координат и времени. В стационарном случае управление не зависит явно от времени, т.е. .

ЗАДАЧИ

1. Для системы, динамика которой описывается уравнением, найти управление и траекторию , минимизирующие указанный в условии функционал и удовлетворяющие граничным условиям.

а) , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , .

2. Для линейной системы, описываемой уравнением , , найти управление, минимизирующее функционал

.

а) Найти оптимальное программное управление .

б) Найти оптимальное управление с обратной связью .

3. Для линейной системы, описываемой уравнениями

, , ,

найти управление, минимизирующее функционал

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , , .

4. Для объекта, описываемого уравнением , определить управление, минимизирующее функционал

,

где .

5. Для объекта, описываемого уравнением , найти управление, минимизирующее функционал

,

где – некоторая константа, - фиксировано.

а) Найти оптимальное программное управление.

б) Найти оптимальное управление с обратной связью.

6. Найти оптимальное управление для системы

, , ,

,

где – некоторая константа, - не фиксировано.

7. Найти оптимальное управление для системы

, ,

.

8. Найти управление и траекторию, которые переводят систему

, , ,

из начального состояния в конечное

так, чтобы

было минимальным.

9. Для системы , , , найти управление и траекторию, минимизирующие функционал

,

если задано конечное состояние:

а) ;

б) , - свободно.

10. Найти оптимальное управление, минимизирующее функционал

,

для системы, описываемой уравнением

, .

а) Использовать для решения принцип максимума.

б) Использовать метод динамического программирования.

11. Исходя из принципа максимума найти оптимальное управление и траекторию для задачи:

, , ,

.

12. Используя принцип максимума, найти оптимальное управление и траекторию для объекта

, , , ,

.

13. Решить задачу максимального быстродействия для системы:

, , , , , ,

.

14. Используя принцип максимума, решить задачу оптимизации.

а) , , , , ,

;

б) , , , , ,

.

15. Методом динамического программирования найти оптимальное управление для системы

, , ,

.

16. Найти оптимальное управление, минимизирующее функционал

для системы , , , .

17. Найти функцию Беллмана и оптимальное управление для систем на отрезке :

а) , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , ;

д) , .

18. Для скалярной системы , с критерием качества

найти оптимальное управление и исследовать его зависимость от параметров a, b, , .

19. В задаче максимального быстродействия для скалярной системы , , , , где , , - задано, управление удовлетворяет условию , , показать, что:

а) уравнение Беллмана для задачи имеет вид

, ;

б) при задача разрешима при любом , а время быстродействия определяется выражением

, , , ;

в) при задача разрешима только в области , в которой определяется тем же выражением, что и при ;

г) оптимальное управление

20. Для системы найти управление с обратной связью, минимизирующее функционал

,

где - не ограничено. Для функции Беллмана использовать приближение в виде многочлена четвёртого порядка относительно .

21. Пусть ракета совершает вертикальный взлёт под действием гравитационных и управляющих сил. Управление движения имеет вид , где – гравитационная постоянная, – реактивное ускорение. Найти такое , при котором высота подъёма максимальна и справедливо одно из ограничений:

, ,

где – заданная постоянная, - время достижения максимальной высоты. Решить ту же задачу при дополнительном ограничении , где – заданная постоянная.

22. Двухкамерная модель «поглощения лекарства и метаболизма» может быть описана уравнениями:

, , , .

Здесь – масса лекарств в желудочно-кишечном тракте, – масса лекарства в крови; управление представляет собой количество применяемых лекарств; постоянные , представляют собой коэффициенты, определяющие скорость всасывания лекарства из желудка в кровь и скорость разложения лекарства в крови (или удаления). Целью управления является достижение желаемого количества лекарства в крови за минимально возможное время . Записать необходимое условие оптимальности в форме принципа максимума.