Вопрос 21

Математическая модель задач основывается на сведении экономических понятий и объектов к математическим (переменные, уравнения, неравенства, их функции, системы) Таким образом, все данные о расходе ресурсов и количестве готовой продукции необходимо свести к некоторой системе ограничений (система уравнений, неравенств). Критерий выбранного плана производства представляется в виде функции, называемую целевой. Различают два типа задач: 1. Если необходимо найти такое решение системы ограничений, при которой целевая функция достигает максимума, то задача называется максимизации (задача о наибольшей прибыли); 2. Если надо найти решение системы ограничений, при которой целевая функция достигает минимума, то это задача минимизации (задача о наименьших затратах). Целевая функция F (x₁,x₂,…,x_n), допустимый план X=(x₁,x₂,…,x_n). M – множество всех допустимых планов (X € M). Оптимальный план Х, когда F_max наибольшая (F_min наименьшая). Решение экономических задач методами линейного программирования позволяют не только решить вопрос о существовании допустимого плана, но и сразу указать на один из них. Верно утверждение: если существует допустимый план, то существует и оптимальный. Для нахождения оптимального плана существуют различные алгоритмы: Симплекс-метод (метод улучшения плана). Существует еще и графический метод, но его применение ограничено по количеству переменных в допустимом плане и целевой функции n≤3. Вопрос о степени влияния количества ресурса на значение целевой функции решается с помощью теории о двойственности.

Вопрос 22

Задача об оптимальном использовании ресурсов. Пусть предприятие выпускает n различных видов готовой продукции. Для их производства необходимо m видов ресурсов. Количество ресурсов ограничено в планируемый период времени и составляет b₁,b₂,…,b_m единиц по каждому виду ресурсов. Известны технологические коэффициенты a_ij , показывающие сколько единиц i-го ресурса необходимо для производства единицы j-го товара. Известна прибыль предприятия от реализации одной единицы готовой продукции по каждому виду c₁,c₂,…,c_n денежных единиц. В планируемый период времени все эти числовые коэффициенты неизменны. Требуется составить такой план производства, при котором прибыль от реализации готовой продукции максимальна. Все данные задачи записываются в следующую таблицу:

Виды ресурсов	Запасы ресурсов	Технологические коэффициенты
		Товар 1	Товар 2	…	Товар j	…	Товар n
Ресурс 1	b1	a11	a12		a1j		a1n
Ресурс 2	b2	a21	a22		a2j		a2n
…
Ресурс i	bi	ai1	ai2		aij		ain
…
Ресурс m	bm	am1	am2		amj		amn
Прибыль		c1	c2		cj		cn

Составим математическую модель. Пусть предприятие будет выпускать x₁ единиц первого товара, х₂ единиц второго товара,…, x_n единиц n-го товара. Сырья первого вида на производство всех единиц первого товара уйдет a₁₁*x₁, сырья второго вида на производство единиц первого товара уйдет a₂₁*x₁ и т.д. Сырья m-го вида на производство первого товара уйдет a_m*x₁. Аналогично на производство второго,…, n-го товара. Первого сырья на производство всех единиц всех товаров уйдет a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n. Этот расход не должен превышать b₁. Получим неравенство a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n ≤b₁. Аналогично составляются неравенства по остальным видам сырья. Получаем систему ограничений:

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+…+a_1nx_n≤b₁ x₁ ≥0

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+…+a_2nx_n≤b₂ x₂ ≥0 (*)

a_m1x₁+ a_m2x₂+…+a_mnx_n≤b_m x_n ≥0

При продаже всех единиц всех товаров предприятие получит прибыль F=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n. Необходимо найти максимальное значение целевой функции F, удовлетворяющих системе ограничений (*).