Задача минимизации километрового р асхода горючего самолета

Рассмотрим полет самолета на постоянной высоте, рис. 2.5.

Уравнения такого полета получим из уравнений (2.8) при , т.е.

; (2.28)

.

Для силы лобового сопротивления X и подъемной силы Y существуют зависимости

; , (2.29)

где , считаются заданными, а , т.е. плотность известным образом зависит от высоты h. Таким образом, выходит, что , .

Одной из важнейших характеристик самолета является его километровый расход горючего (расход горючего в килограммах на один км пути относительно воздуха). Расход этот подсчитывается по формуле [6]

, (2.30)

г де с – известная константа. Входящая в уравнения (2.28) и целевую функцию y (2.30) тяга P является функцией высоты h и скорости полета V, т.е. . Эта зависимость дается в виде номограмм, рис. 2.6.

Заметим, что наибольшую тягу двигатель развивает при .

Как следует из рис. 2.6, для каждой конкретной высоты h величина тяги не может превысить некоторого наибольшего значения , т.е.

.

Последнее соотношение можно записать в виде

, (2.31)

где константа V₁ подлежит определению.

Поставим следующую задачу.

Определить такие значения скорости V и высоты полета h, угла атаки , чтобы километровый расход горючего y достигал минимума.

Для данной задачи вспомогательная функция

(2.32)

Необходимые условия экстремума (2.26), (2.27) запишутся как

;

;

; (2.33)

;

;

;

.

Система из семи уравнений (2.33) содержит такое же количество неизвестных .

Заметим, что для последнего уравнения системы (2.33) возможны два варианта:

а) ;

б) . (2.34)

Каждый из этих случаев необходимо исследовать отдельно. Объем необходимых вычислений как бы удваивается. В задачах с тремя ограничениями типа неравенства объем вычислений учетверяется и т.д. В этом заключается один из существенных недостатков изложенного классического подхода.

Рубежный тестовый контроль

1. В задаче на условный экстремум

;

необходимые условия имеют вид:

1) ;

;

2) ;

;

;

3) ;

;

,

где

;

4) ;

,

где

.

2. Задача максимизации скорости набора высоты самолетом формулируется так, что требуется найти такие значения

1) , при которых скорость набора высоты достигала максимума;

2) высоты h, угла атаки , угла наклона скорости к горизонту и скорости полета V, при которых целевая функция достигает максимума;

3) при которых скорость V достигает максимума;

4) , при которых скорость полета V достигает максимума.

3. Консервная банка имеет оптимальную форму, если у этой банки

1) высота и радиус равны;

2) высота и диаметр равны, при этом площадь всей поверхности достигает минимума;

3) высота и диаметр равны и объем достигает максимума;

4) при заданном объеме диаметр и высота банки равны, что обеспечивает минимальную площадь всей поверхности банки.

4. В задаче минимизации километрового расхода горючего требуется найти такие значения

1) , обеспечивающие минимум километрового расхода горючего при условии, что эти переменные удовлетворяют уравнениям движения и ограничению на тягу;

2) обеспечивающие наименьшую величину километровому расходу;

3) , высоты полета h и тяги, обеспечивающие минимум километрового расхода горючего;

4) и тяги, при которых расход горючего достигает минимума.