1.6. Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений

Отыскание минимума функции многих переменных классическим методом (с помощью необходимых и достаточных условий) или методом наискорейшего спуска сопряжено с необходимостью решать нелинейные алгебраические уравнения. Рассмотрим некоторые из таких методов.

Метод Ньютона

Вначале рассмотрим случай, когда требуется найти корень одного Нелинейного алгебраического уравнения.

Пусть задана дважды дифференцируемая функция f(x). Требуется найти корень уравнения .

Обозначим через такое значение x , при котором , а через такую окрестность точки , что в этой окрестности

. (1.106)

Пусть, наконец, – произвольная точка окрестности , т.е. . Тогда [1] итерационная формула, в основе которой лежит замена нелинейной зависимости f(x) касательной,

, …, (1.107)

где k – номер итерации, даст сходящуюся к последовательность точек .

Процесс вычислений по формуле (1.107) заканчивается, если

,

где – наперед заданное малое положительное число. Геометрическую интерпретацию иллюстрирует рис. 1.30.

П ример. Рассмотрим зависимость . Найдем корень уравнения . Для рассматриваемой функции имеем , .

Пусть , условие

выполнено:

.

Можно вести расчеты.

Используя формулу (2.107) последовательно находим:

;

и т.д.

Решение системы алгебраических уравнений

Рассматриваемый в этом разделе метод решение системы алгебраических уравнений является обобщением метода, рассмотренного в предыдущем разделе.

Пусть задана система алгебраических уравнений

, , (1.108)

где , а – функции, имеющие производные первого порядка по всем своим аргументам. Требуется найти решение уравнений (1.108).

Применим следующую процедуру, которую следует понимать, как обобщение метода Ньютона, изложенного в предыдущем разделе, на случай n уравнений.

1. Задаемся исходной точкой (нулевым приближением) –

. (1.109)

2. В окрестности точки выполняем линеаризацию функций

,

где векторы

;

, .

3. Определяем такой вектор , что

.

Эти уравнения запишем в виде

. (1.110)

В матричной форме система уравнений (2.110) запишется как

, (1.111)

где – матрица

, (1.112)

n-мерный вектор

. (1.113)

Допустим, что матрица А не особая, т.е.

.

Это значит, что для матрицы А существует обратная матрица . Тогда из уравнения (1.111) находим вектор x первого приближения, т.е.

. (1.114)

4. Переход к п.1, т.е. точка заменяется точкой x¹ и т.д.

Процесс вычислений заканчивается по признаку

,

где – малое положительное число.

Заметим, что в основе рассмотренного алгоритма лежит идея замены поверхностей гиперплоскостями.

Пример. Найти решение системы уравнений

Применительно к данному примеру

(1.115)

Формируем градиенты

(1.116)

За точку нулевого приближения примем точку , тогда с учетом (1.116) матрица (1.112) и вектор (1.113) запишутся в следующем виде

; (1.117)

.

Матрица А (1.117) не особая, т.к. .

Как известно,

,

где алгебраические дополнения элементов определителя

,

причем i – номер строки этого элемента, а j – номер его столбца, .

Поскольку , , , , то

,

а потому, согласно (1.114) имеем:

.

Из этого соотношения следует, что

т.е. ; .

Далее точка принимается за новую точку и.д.