Рубежный тестовый контроль

1. Матрица

является

1. положительно определенной;

2. неопределенной;

3. вопрос поставлен некорректно;

4. отрицательно неопределенной.

2. Необходимые условия экстремума функции

имеют вид:

1) ;

2)

3)

4) .

3. Для того, чтобы функция достигала минимума в некоторой точке (x_1, x₂)достаточно, чтобы в этой точке

1. матрица Гессе была положительна;

2) ; ;

3) ; ; ;

4) ; ; .

4. Функция в начале координат имеет

1. точку перегиба;

2. min;

3. max;

4. неопределенность.

5. В задаче перевозки сыпучего материала достаточные условия

1. свидетельствуют о минимуме затрат;

2. применить не представляется возможным;

3. свидетельствуют о максимуме затрат на изготовление контейнера и перевозку груза;

4. применять нет необходимости.

1.5. Градиентные методы поиска экстремума функции нескольких переменных

Основные понятия

Рассмотрим функцию n переменных . Как известно, в пространстве переменных каждой точке с такими координатами можно поставить в соответствие вектор x, компонентами (проекциями) которого как раз и будут величины , т.е. . Другими словами, каждой точке с координатами (записывать это будем как ) отвечает вектор . В дальнейшем будем обозначать через x как точку в пространстве переменных , так и вектор, который отвечает этой точке. Конечно, это не вполне строго, однако, допустимо. При сделанных оговорках введенная выше функция запишется как .

Градиентом функции называется вектор

.

Пример. Пусть , тогда

Заметим, что компоненты градиента зависят от координат x_1, …, x_n, т.е. от компонент вектора x. Это означает, что в каждой точке пространства переменных проекции градиента в общем случае принимают различные значения, а вместе с тем меняется модуль и направление градиента . Так для векторов и и функции соответственно имеем

.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь случая n = 2, но все сказанное ниже для этого случая справедливо и для n > 2. Отметим важное свойство градиента.

Пусть – некоторая фиксированная точка плоскости. Градиент всегда ориентирован по нормали к линии уровня, проходящей через точку x⁰ , направлен в сторону наискорейшего возрастания функции . Напомним, что уравнение линии уровня, проходящей через точку x⁰, имеет следующий вид

,

где . Например, если , а , то уравнение линии уровня, проходящей через точку x⁰ будет , рис. 1.22.

В рассматриваемом примере линией уровня является окружность с уравнением .

Тот факт, что ориентирован по нормали к линии уровня, проходящей через любую точку x, примем без доказательства.

Р азберем далее, какой смысл вкладывается в понятие «направление наискорейшего возрастания функции». Для этого рассмотрим некоторую точку x⁰, рис. 1.23.

Будем вычислять приращения целевой функции y(x), осуществляя некоторые малые, но одинаковые перемещения (так называемые, локальные – на окружность А малого радиуса ) из точки x⁰ вдоль направлений 1, 2, …, n. Естественно ожидать различные по величине приращения по разным направлениям. То направление, по которому приращение в указанном смысле окажется наибольшим и назовем направлением наискорейшего возрастания функции. Покажем теперь, что градиент как раз и указывает направления наискорейшего возрастания функции y(x). Другими словами, выясним, в каком направлении из точки x⁰ следует перемещаться, чтобы y(x) получила наибольшее приращение. Согласно формуле Тейлора, рис. 1.24

,

г де вектор , а – скалярное произведение векторов , . О₂ – слагаемые более высокого порядка относительно разности . Заметим, что – число, – вектор с фиксированным направлением.

При малых перемещениях величина разности будет определяться слагаемым

.

Как известно, скалярное произведение этих векторов

.

Своего наибольшего значения рассматриваемое скалярное произведение достигнет тогда, когда

,

т.е. тогда, когда вектор будет направлен по градиенту . Таким образом, получается, что если в некоторой точке x⁰ построен градиент (его направление полностью определяется его проекциями ), то малое смещение из точки x⁰ по направлению градиента даст наибольшее приращение целевой функции по сравнению с любым другим возможным малым перемещением из точки x⁰.

Обратим, наконец, внимание на тот факт, что если градиент указывает направление наискорейшего возрастания функции в точке x⁰, то антиградиент, т.е. , указывает направление наискорейшего убывания функции.