Асимптоты функции

   Асимптотой функции называют прямую, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.

Вертикальные асимптоты

   Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва функции и границами области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет. Некоторые особенности поведения функции в окрестности вертикальных асимптот представлено на рисунке.    Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва второго рода В этом случае f( x₀ ± 0) = ± ∞, или f ( x₀ ± 0) = + ∞ , или f (x₀ ± 0) = − ∞.    Следует отметить, что в этом случае может отмечаться всё разнообразие поведения функции в окрестности точки разрыва. Например, на рис. 8.2 приведён график элементарной функции

. Рис. 8.2. Точка разрыва второго рода для данной функции определяется только справа

Горизонтальные асимптоты

   Если

,

то у = b — горизонтальная асимптота кривой y = f (x) (правая – при х стремящемуся к плюс бесконечности, левая – при х стремящемуся к минус бесконечности и двусторонняя, если пределы при х стремящемуся к плюс-минус бесконечности равны).

Рис. 8.3. Примеры горизонтальных двухсторонних и односторонних асимптот

Наклонные асимптоты

   Уравнение наклонной асимптоты функции y = f (x) определим уравнением y =k·x + b. При этом параметры наклонной асимптоты определяются соотношениями

, .

   Для того, чтобы функция y = f (x ) имела асимптоту y = k ·x + b, н еобходимо и достаточно, чтобы существовали указанные выше конечные пределы.