- •1.Векторное пространство. Пространство арифметических и геометрических векторов
- •2.Линейная зависимость и независимость векторов.Базис
- •3.Скалярное произведение.Длина вектора.Геометрическая интерпритация в случае двух и трех измерений
- •4.Матрицы.Линейные операции над матрицами.Умножение матриц
- •6.Определитель n-ого порядка.Свойства определителей
- •7.Обратная матрица.(Определение,условие существования,обратные матрицы для матриц специального вида)
- •8.Система линейных уравнений.Матричная форма записи систем линейных уравнений.Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- •9.Равносильность систем линейных уравнений.Расширенная матрица системы.Элементарные преобразования.
- •11.Решение систем линейных алгебраических уравнений с канонической расширенной матрицей.
- •12.Ранг матрицы.Равносильность различных определений.Ранги расширенных матриц для совместных и неопределённых систем.
- •13.Линейный оператор.Собственные вектора и собственные значения линейного оператора.
- •15.Прямая на плоскости.(Различные виды уравнений прямой,угол между прямыми)
- •16.Взаимное расположение прямых и исследование системы двух уравнений с двумя неизвестными
- •17.Плоскость в пространстве(Различные виды уравнений плоскости,угол между плоскостями)
- •18.Прямая в пространстве и ее различные уравнения.Угол между прямыми и между прямой и плоскостью.Точка пересечения прямой и плоскости
- •20.Скалярное произведение в n-мерном пространстве.Определение,свойства,угол между векторами
- •30.Эллипс.Вывод канонического уравнения
- •31Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису
16.Взаимное расположение прямых и исследование системы двух уравнений с двумя неизвестными
Коллинеарные прямые
Две прямые называются коллинеарными, если они параллельны или совпадают.
Получим условие коллинеарности двух прямых и , заданных общими уравнениями:
Необходимым и достаточным условием коллинеарности прямых (3.19) является условие коллинеарности их нормалей и . Следовательно, если прямые (3.19) коллинеарны, то , т.е. существует такое число , что и наоборот.
Прямые совпадают, если помимо этих условий справедливо . Тогда первое уравнение в (3.19) имеет вид , т.е. равносильно второму, поскольку .
Таким образом, прямые (3.19) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число , что , но . Прямые (3.19) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны:
Условие коллинеарности двух прямых (3.19) можно записать в виде
Пересекающиеся прямые
Необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых (3.19) является условие неколлинеарности их нормалей, или, что то же самое, условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных:
или
При этом условии система уравнений имеет единственное решение , которое определяет точку пересечения прямых (3.19).
1.Углом между пересекающимися прямыми на плоскости, называется градусная мера наименьшего из углов, образованных при пересечении этих прямых. Угол между совпадающими или параллельными прямыми считается равным нулю. Угол α между двумя прямыми, заданными уравнениями: y=k1x+b1 (первая прямая) и y=k2x+b2 (вторая прямая), может быть вычислен по формуле (угол отсчитывается от 1й прямой ко 2й против часовой стрелки): tg(α)=(k2-k1)/(1+k1k2)
-прямые скрещивающиеся,т.е.не лежат в одной плоскости
-прямые пересекающиеся,т.е.лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку
-прямые параллельны,т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаютс
-прямые совпадают
17.Плоскость в пространстве(Различные виды уравнений плоскости,угол между плоскостями)
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному
вектору.
Пусть плоскость задана точкой M0(x0;y0;z0) и вектором ,
перпендикулярной этой плоскости.
Возьмем произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор
При любом расположении точки М на плоскости Q , поэтому .
Общее уравнение плоскости.
· Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0)
· Если С=0 то вектор
. Следовательно, плоскость параллельна оси oz, если В=0 – то oy, если А=0 – то ox.
· Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0), параллельно оси oz.
Аналогично при A=D=0 и B=D=0.
· Если А=В=0 то уравнение примет вид плоскость параллельна плоскости Oxy.
· Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение плоскости Oxy.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
К (х1;у1) М (х2;у2) N (x3;y3)
Возьмем на плоскости точку P (x;y;z).
Составим векторы:
Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно они компланарны:
Уравнение плоскости в отрезках.
Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит через точки:
; ;
Нормальное уравнение плоскости.
Угол между плоскостями: cos А1А1+В1В2+С1С2/(корень)А12+В12+С12*(корень)А22+В22+С22