- •Содержание дисциплины "Дискретная математика" введение
- •Входная контрольная работа
- •1Вариант
- •2 Вариант
- •Раздел 1. Основы теории множеств
- •Тема 1.1 Основные понятия теории множеств.
- •Тема 1.2 Операции над множествами.
- •Самостоятельная работа № 1
- •Тема 1.3 Свойства операций.
- •Контрольная работа
- •1 Вариант
- •2 Вариант
- •Раздел 2. Формулы логики.
- •Тема 2.1 Основные логические операции.
- •Тема 2.2 Формулы логики.
- •Самостоятельная работа №2.
- •Тема 2.3 Дизъюнктивная нормальная форма.
- •Различны все члены дизъюнкции;
- •Тема 2.4 Конъюнктивная нормальная форма.
- •Тема 2.5 Равносильные формулы. Свойства.
- •Раздел 3. Булевы функции.
- •Тема 3.1 Понятие булевой функции.
- •Тема 3.2 Совершенная днф. Совершенная кнф. Совершенной дизъюнктивной формой формулы алгебры высказываний (сднф) называется днф, в которой:
- •Различны все члены дизъюнкции;
- •Самостоятельная работа №5.
- •Тема 3.3 Минимальная днф.
- •Тема 3.4 Представление булевой функции в виде минимальной днф.
- •Самостоятельная работа №6. Самостоятельная работа №7
- •Тема 3.5 Полнота множества функций.
- •Тема 3.6 Важнейшие замкнутые классы.
- •Важнейшие замкнутые классы в р2
- •Тема 3.7 Теорема Поста.
- •Примеры использования теоремы Поста.
- •3. Составим критериальную таблицу для другой полной системы функций из р2: {0, 1, x1x2, x1x2}.
- •Контрольная работа
- •Раздел 4. Предикаты и бинарные отношения.
- •Тема 4.1 Понятие предиката. Область определения и область истинности предиката.
- •Тема 4.2 Логические операции над предикатами.
- •Самостоятельная работа №8.
- •Тема 4.3 Кванторные операции над предикатами.
- •2. Квантор существования
- •- «Все люди любят всех людей».
- •- «Существует человек, который кого-то любит» .
- •- «Существует человек, который любит всех людей».
- •Тема 4.4 Понятие предикатной формулы.
- •Тема 4.5 Равносильность предикатов. Исчисление предикатов.
- •Самостоятельная работа №9.
- •Тема 4.6 Бинарные отношения и их свойства.
- •Самостоятельная работа №10. Контрольная работа
- •Раздел 5. Отображения. Подстановки.
- •Тема 5.1 Отображения и их свойства.
- •Самостоятельная работа №11.
- •Тема 5.2 Композиция отображений и обратное отображение.
- •Тема 5.3 Подстановки. Обратные подстановки. Формула количества подстановок.
- •Самостоятельная работа №12. Контрольная работа
- •1 Вариант
- •2 Вариант
- •3 Вариант
- •4 Вариант
- •5 Вариант
- •Раздел 6. Метод математической индукции.
- •Тема 6.1 Принцип метода математической индукции.
- •Раздел 7. Основы теории графов.
- •Тема 7.1 Понятие неориентированный граф. Основные определения.
- •Лабораторная работа № 1.
- •Тема 7.2 Теорема о сумме степеней вершин графа. Полный граф, его свойства.
- •Лабораторная работа № 2.
- •Тема 7.3 Метрические характеристики графа.
- •Лабораторная работа № 3.
- •Тема 7.4 Двудольные и изоморфные графы.
- •Лабораторная работа № 4.
- •Тема 7.5 Эйлеровы и гамильтоновы графы.
- •Лабораторная работа № 5
- •Тема 7.6 Плоские графы.
- •Тема 7.7 Деревья. Код Пруфера.
- •Тема 7.8 Понятие ориентированный граф (орграф).
- •Тема 7.9 Достижимость вершин в орграфе.
- •Раздел 8. Элементы теории алгоритмов.
- •Тема 8.1 Определение класса финитно-поставленных задач.
- •Тема 8.2 Машины Тьюринга.
- •Тема 8.3 Уточнения понятия алгоритм.
- •Итоговая (выходная) контрольная работа.
Самостоятельная работа №9.
Тема 4.6 Бинарные отношения и их свойства.
Декартовым произведением двух множеств называется .
Бинарным отношением между множествами А и В называется всякое подмножество их декартового произведения.
Бинарное отношение – множество, состоящее из двоек чисел.
Если тогда бинарным отношением между А и В будет 2mn.
Среди всех бинарных отношений выделяют две и дают им следующие названия:
универсальное бинарное отношение – состоит из всех элементов множества .
нулевое бинарное отношение – не содержит ни одного элемента и совпадает с пустым множеством.
Бинарным отношением на множестве А называется любое подмножество
Обратным бинарным отношением к бинарному отношению Р называется множество Р-1: .
Свойства бинарных отношений:
Бинарное отношение Р на множестве А называется рефлексивным, если для любого элемента х множества А, двойка чисел .
Бинарное отношение Р называется симметричным, если из того что двойка чисел следует, что .
Бинарное отношение Р называется антисимметричным если из того, что двойка чисел и следует, что .
Бинарное отношение называется транзитивным, если из того, что и следует, что .
Бинарное отношение Р называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Самостоятельная работа №10. Контрольная работа
Вариант 1
Первый уровень сложности – задачи №№ 1,2,3 – оценка “удовлетворительно”
Второй уровень сложности – любые четыре задачи – оценка “хорошо”
Третий уровень сложности – все задачи – оценка “отлично”
1. Найти области истинности следующих предикатов:
а). « на множестве действительных чисел R »
б). « на множестве действительных чисел R »
в). « на множестве действительных чисел»
2. Дана формула . Являются ли вхождения переменной x свободными?
3. Высказывательная форма x+y=z , с переменными, упорядоченными по алфавиту и принимающими значения из множества однозначных натуральных чисел, задаёт предикат F(x,y,z) . Выпишите тройки чисел, компоненты которых находятся в отношении F.
4. Задано бинарное отношение . Определите свойства заданного бинарного отношения (рефлексивность, симметричность, антисимметричность и транзитивность).
5. Пусть бинарные отношения P и S определены на М, где М-множество всех людей следующим образом:
P= {(x,y) | x,y M,x является отцом y}
S= {(x,y) | x,y M,x - дочь y}
Описать явно следующие отношения:
а). PS b) c). d)
Вариант 2
Первый уровень сложности – задачи №№ 1,2,3 – оценка “удовлетворительно”
Второй уровень сложности – любые четыре задачи – оценка “хорошо”
Третий уровень сложности – все задачи – оценка “отлично”
1. Найти области истинности следующих предикатов:
а). « x,y - множество действительных чисел»
б). « на множестве действительных чисел R »
в). « если и »
2. Дана формула . Являются ли вхождения переменной x связанными?
3. Высказывательная форма « x – среднее арифметическое y и z » , с переменными, упорядоченными по алфавиту и принимающими значения из множества однозначных натуральных чисел, задаёт предикат F(x,y,z) . Выпишите тройки чисел, компоненты которых находятся в отношении F.
4. Задано бинарное отношение . Определите свойства заданного бинарного отношения (рефлексивность, симметричность, антисимметричность и транзитивность).
5. Пусть бинарные отношения P и S определены на М, где М-множество всех людей следующим образом:
P= {(x,y) | x,y M, x является отцом y}
S= {(x,y) | x,y M, x - дочь y}
Описать явно следующие отношения:
а). b) c). d)
Вариант 3
Первый уровень сложности – задачи №№ 1,2,3 – оценка “удовлетворительно”
Второй уровень сложности – любые четыре задачи – оценка “хорошо”
Третий уровень сложности – все задачи – оценка “отлично”
1. Найти области истинности следующих предикатов:
а). « x - множество действительных чисел»
б). « на множестве натуральных чисел N »
в). « на множестве натуральных чисел N »
2. Дана формула . Являются ли вхождения переменных x и y связанными?
3. Высказывательная форма « y равен квадратному корню из произведения чисел x и z » , с переменными, упорядоченными по алфавиту и принимающими значения из множества однозначных натуральных чисел, задаёт предикат F(x,y,z) . Выпишите тройки чисел, компоненты которых находятся в отношении F.
4. Задано бинарное отношение . Определите свойства заданного бинарного отношения (рефлексивность, симметричность, антисимметричность и транзитивность).
5. Пусть бинарные отношения P и S определены на М, где М-множество всех людей следующим образом:
P= {(x,y) | x,y M, x является матерью y}
S= {(x,y) | x,y M, x - сын y}
Описать явно следующие отношения:
а). PS b) c). SP d)
Вариант 4
Первый уровень сложности – задачи №№ 1,2,3 – оценка “удовлетворительно”
Второй уровень сложности – любые четыре задачи – оценка “хорошо”
Третий уровень сложности – все задачи – оценка “отлично”
1. Найти области истинности следующих предикатов:
а). « x,y - множество действительных чисел»
б). « на множестве действительных чисел R »
в). « на множестве действительных чисел»
2. Дана формула . Являются ли вхождения переменной y связанными?
3. Высказывательная форма « x+y делится нацело на z » , с переменными, упорядоченными по алфавиту и принимающими значения из множества однозначных натуральных чисел, задаёт предикат F(x,y,z) . Выпишите тройки чисел, компоненты которых находятся в отношении F.
4. Задано бинарное отношение . Определите свойства заданного бинарного отношения (рефлексивность, симметричность, антисимметричность и транзитивность).
5. Пусть бинарные отношения P и S определены на М, где М-множество всех людей следующим образом:
P= {(x,y) | x,y M, x является отцом y}
S= {(x,y) | x,y M, x - дочь y}
Описать явно следующие отношения:
а). b) c).PS d)