Метод Рунге-Кутта

Пусть у_k – приближенное значение решения при x = x_k уже построено.

Найдем:

f_k=f(x_k,y_k),

a_k=f(x_k+h/2,y_k+f_kh/2),

и за приближенное значение решения при х = х_k+1 = x_k + h примем:

y_k+1 = y_k + a_kh.

Рисунок 2.2 – Метод Рунге-Кутта

Геометрически это означает, что для построения звена М_k М_k+1 ломаной, аппроксимирующей интегральную кривую, сначала проводим через точку М отрезок Μ_k Μ_k+1, совпадающий с направлением f_k поля в точке М_k (как это делалось в методе Эйлера). Вычисляем координаты точки N_k – середины этого отрезка:

(х_к+h/2, y_k+h/2),

и находим величину

a_k=f(x_k+h/2,y_k+f_kh/2).

Через точку М_k проводим отрмок M_k M_k+\ параллельно направлению поля в точке N_k. Ординату точки M_k+1 и принимаем за у_k+1.

Этот метод будет точнее метода Эйлера, так как он учитывает поворот поля на интервале {x_k, x_k+1}.

Еще более точный результат получим, если вычисления про­водить по схеме:

f_k=f(x_k,y_k),

a_k=f(x_k+h/2,y_k+f_nh/2),

b_k=f(x_k+h/2,y_k+a_nh/2),

g_k=f(x_k+h/2,y_k+b_nh),

y_k+1=y_k+1/6(f_k+2a_k+2b_k+g_k)h.

За исходную точку, как и раньше, берем точку m₀(х₀,y₀). Выбрав шаг А, вычислим:

F₀=f(x₀,y₀),

a₀=f(x₀+h/2,y₀+f₀h/2),

b₀=f(x₀+h/2,y₀+a₀h/2),

g₀=f(x₀+h/2,y₀+b₀h).

Находим

y₁=y₀+1/6(f₀+2a₀+2b₀+g₀)h.

Получили точку Μ₁(x₁, y₁). Аналогично находим f₁, a₁, b₁, g₁ и вычисляем у₂ и так далее.

12. Функции решения дифференциальных уравнений

Рассмотрим пример использования функции Rkfixed, предназначенной для поиска набора значений решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта, встроенной в МК.

Синтаксис применения функций для решения данной задачи выглядит следующим образом:

Rkfixed(x,x1,x2,n,f) ,

где x – имя аргумента; x1,x2 – начало и конец интервала значений аргумента; n – число разбиений; f – имя функции, приравниваемой к недифференцируемой части уравнения.

На рисунке 2.1 представлен пример использования встроенной функции МК rkfixed, которая позволяет найти массив приближенных значений методом Рунге-Кутта.

Рисунок 2.3 – Фазовый портрет затухающих колебаний полученный методом Рунге-Кутта в МК

Frame и mu – параметры для вариации коэффициента затухания и носят частный характер.

2.2Задание к выполнению работы

1. Ознакомиться с инструментарием МК для нахождения корней алгебраических уравнений.

2. Найти корни указанного уравнения (как в численном виде, так и результирующую формулу вычисления корней) с помощью средств МК. Поиск корней следует выполнить с использованием функций: Root(), Find(), Monner().

3. Составить произвольную систему из нескольких уравнений и найти ее корни с помощью одной из указанных функций.

4. Построить график функции, соответствующей вашему уравнению и определить корни графическим путем. Сравнить результаты, полученные при использовании разных методов. Сделать выводы.

5. Найти средствами МК (функция rkfixed) массив точек функции, удовлетворяющей однородному дифференциальному уравнению, выбранному в соответствии с вашим вариантом.

6. Представить результаты в виде графика.

7. Составить отчет о проделанной работе.