22. Постановка, типы, свойства транспортных задач

Формулировка транспортной задачи выглядит следующим образом. Имеется n пунктов отправления, в каждом из которых имеется груз а₁, …, а_n и b₁, …, b_n пунктов приема. с₁, …, с_n – стоимости перевозки. .

, (6.7)

(6.8)

Здесь x_ij – количество груза, перевозимого из a_i в b_j. Матрица  – матрица перевозок, – матрица тарифов. План перевозок с минимальной стоимостью называется оптимальным. Бывают такие типы транспортных задач:

1. закрытая транспортная задача – ; (6.9)

2. открытая транспортная задача:

• с неудовлетворенным спросом ;

• с неудовлетворенным предложением .

Если имеется транспортная задача открытого типа, то для решения ее необходимо свести к закрытому типу.

В этом случае для задачи с неудовлетворенным предложением вводятся дополнительные пункты назначения , тогда задача будет сформулирована в виде:

. (6.10)

В полученном решении все перевозки в фиктивный пункт назначения принимаются равными нулю, а стоимость перевозки больше стоимости . Аналогично приводится задача с неудовлетворенным спросом, только в этом случае вводится фиктивный пункт отправления.

23. Определение начального опорного плана

Опорный план – это план перевозок, с которого начинается решение

Сначала ищется произвольный начальный план, обеспечивающий перевозку груза с соблюдением условий ограничений. Затем ищется оптимальный план перевозок путем последовательного улучшения начального плана. Эту задачу можно решать и симплекс-методом, однако решение, в этом случае, затруднено из-за большого количества переменных.

Теорема: Исходя из условия баланса (6.9), ранг матрицы перевозок на единицу меньше числа уравнений ограничений, т.е. . Ранг – число линейно независимых векторов (уравнений). Существует несколько методов построения начального плана. Рассмотрим метод северо-западного угла. В этом методе матрица перевозок начинает заполнятся с первой верхней клеточки:

1. , т.е. если . Здесь  – строки,  – столбцы. В дальнейшем все элементы первой строки принимаются равными нулю.

.

2. В полученной приведенной матрице опять применяем метод северо-западного угла.

3. Алгоритм останавливается, когда исчерпаны ресурсы a_i и b_j.

Например, есть задача:

	30	30	10	20
50	1		4	1
30	2	3	1	5
10	3	2	4	4

При решении этой задачи получаем:

	30	30	10	20
50	30	20	0	50
30	0	10	0	30
10	0	0	0	10

Ответ: .