1. Алгоритм табличного симплекс-метода

1. Записываем начальную таблицу коэффициентов, соответствующей задачи ЛП с допустимым начальным базисом, т.е. . Свободные переменные в таблице учитываем со знаком минус. В этом случае анализируем коэффициенты первой строки, которые относятся к целевой функции. Если все , то получено оптимальное решение при решении задачи на максимум. Более того, если в строке целевой функции нет нулевых элементов, то решение единственное. Если имеется хотя бы один нулевой элемент, то решений бесчисленное множество. Если есть отрицательный элемент, то решение может быть улучшено;

2. Определяем направляющий столбец, соответствующий той свободной переменной, которую нужно перевести в базис для увеличения значения целевой функции. Выбирается столбец с наибольшим по модулю отрицательным элементом. Если таких несколько, то выбираем любой. Если в выбранном столбце все , то задача не имеет решения (допустимая область не ограничена в направлении экстремума). Если найдется положительный элемент в направляющем столбце или их будет несколько, то выбирается направляющая строка, соответствующая переменной, выводимой из базиса;

3. Выберем направляющую строку, которая удовлетворяет следующему условию

. (6.4)

В итоге выберем r-тую строку, на пересечении с которой находится разрешающий элемент ;

4. Произведем замену выбранной базисной переменной (соответствующую направляющей строке) на выбранную свободную переменную (соответствующую направляющему столбцу), при этом произведем пересчет коэффициентов матрицы по правилу Жордановых преобразований:

• разрешающий элемент заменяем на обратный ему;

• все коэффициенты направляющей строки делим на разрешающий элемент;

• все коэффициенты направляющего столбца дели на разрешающий элемент и изменяем их знак на противоположный;

• остальные коэффициенты пересчитываются по формуле:

; (6.5)

• переходим к первому пункту алгоритма для анализа новой матрицы коэффициентов.

Таким образом, алгоритм табличного симплекс-метода предусматривает итерационное повторение шагов.

К примеру, необходимо найти при ограничениях

.

Решение задачи представлено таблицами ниже.

	1	-X4	-X5
	3	2/3	1/3
X3	9	1	1
X1	4	1/3	2/3
X2	1	-1/3	1/3

Ответ: .

21. Условие вырожденности

Если при решении задачи алгоритм зациклится, то она вырожденная. Это задача, содержащая базисное решение, в котором хотя бы одна из базисных переменных принимает нулевое значение. Такое может случиться, когда при определении направляющей строки окажется, что несколько строк имеют одинаковое симплекс-отношение. Если в этом случае выполнить пункты алгоритма 1 - 2, то задача имеет либо одно решение, либо не имеет такового вообще. Если требуется улучшение плана, то необходимо выбрать направляющую строку по минимальному симплексному отношению, а она будет соответствовать минимальному значению , а именно нулю. Тогда в базис вводится новая переменная

. (6.6)

Значение всех остальных переменных также не изменяется. А это будет означать, что значение целевой функции также не изменяется и что очередной шаг итерации сделан вхолостую. Поскольку количество переменных ограничено, то в конце концов может быть получено условие окончания работы алгоритма для какого-то базиса. Но может оказаться, что мы вернемся к исходному базису. В этом случае задача зациклится. Для устранения зацикливания при появлении строк с минимальным симплексным отношением для элементов первого столбца необходимо проанализировать дополнительно симплексное отношение для элементов второго столбца, чтобы выбрать направляющую строку.