4.3Задание к выполнению работы

1. Ознакомиться с аналитическими методами поиска экстремумов нелинейных функций.

2. Найти экстремумы для функции, соответствующей вашему варианту с помощью метода Лагранжа.

3. Средствами МК составить шаблон для поиска экстремумов функции по вашему варианту и вывести ее на график.

4. Дополнить шаблон условиями ограничений и вывести их на график. Найти экстремум с учетом ограничений. Построить графики поверхностей целевой функции и соответствующих ограничений.

5. Сравнить результаты, полученные аналитическим путем и методами МК. Сделать выводы

6. Составить отчет о проделанной работе.

Таблица 4.1 – Варианты заданий
№	Целевая функция	Ограничение
1	Z=2x1 2+x22	2x1+ 3x2 =-5
2	Z=x1 2 + x2 2	3x1+4x2=-12.
3	Z=(x1 –1)2+(x2 –3)2	2x1-x2 =-5
4	Z=2(x1 –3)2 +3( x2 –3)2	x1+x2=-5.
5	Z=x1 2+2x1 +x2 + x2 2	x1+3x2 =-6
6	Z=4x1 +2x1 2+x2 +2x2 2	3x1+4x2 =-12
7	Z=4x1 +2x1 2+x2 +2x2 2	3x1+4x2 =-12
8	Z=2x1 x2 + x2 2	2x1+4x2=8.
9	Z=2(x1 –3)2 +3( x2 –3)2	x1+x2=0.
10	Z=x1 2+2x1 +x2 + x2 2	x1+3x2 =-6
11	Z=2x1 2 +5x1 +x2 2 +3x2	x1+5x2=-12.
12	Z=2x1 2 +5x1 +x2 2 +3x2	x1+5x2=-12.
13	Z=2x1 x2 + x2 2	2x1+4x2=-8.
14	Z=x1 2 + x2 2	3x1+4x2=-12.
15	Z=2x1 2 +6x1 +x2 2 +3x2	x1+6x2=-15.
16	Z=2x1 2 +3x1 +x2 2 +5x2	12x1+4x2=6

4.4Требования к отчету

Отчет должен содержать:

• Титульную страницу с данными об исполнителе и проверяющем.

• Порядковый номер, номер варианта, тему и цель работы.

• Краткие теоретические сведения об использованных методах вычисления.

• Рукописный вариант решения задачи на поиск условного экстремума методом Лагранжа.

• Шаблон решаемой задачи, выполненный в МК.

• Выводы о проделанной работе.

Отчет должен быть оформлен согласно требованиям ГОСТ.

5Лабораторная работа №5 графический метод решения задач линейного программирования

Цель работы: получить практические навыки решения задач ЛП графическим методом.

5.1Геометрическая интерпретация и графический метод решения задач линейного программирования

Решение задачи линейного программирования (ЛП) графическим методом достигается реализацией следующего алгоритма:

1. Привести задачу к каноническому виду. Убедится, что число свободных переменных не превышает двух. Выразить m базисных переменных через две свободные переменные (в качестве свободных взять переменные, которые присутствуют в целевой функции);

2. На плоскости, определяемой свободными переменными, построить область допустимых решений, определяемую пересечением полупространств, соответствующих неравенствам ограничений;

3. Провести прямую линию, соответствующую целевой функции. Она проходит перпендикулярно вектору, координаты которого составлены из коэффициентов при переменных в выражении для целевой функции;

4. Перемещать прямую линию, соответствующую целевой функции в направлении вектора при решении задачи на максимум и в обратном направлении при решении задачи на минимум, пока она не коснется угловой точки допустимой области решений;

5. Найти координаты полученной крайней точки, решив систему уравнений прямых, на пересечении которых она находится.

Например, необходимо найти при следующих ограничениях:

. (5.1)

Для этого приведем задачу к каноническому виду:

. (5.2)

Решаем задачу линейного программирования, в которой n = 5 – количество переменных, m = 3 – количество базисных переменных, n – m = 2 – количество свободных переменных. Если число свободных переменных равно двум, то можно дать графическую интерпретацию задачи (рис. 5.1).

Рисунок 5.1 – Решение задачи МП графическим методом

Выберем в качестве свободных переменных x₁ и x₂, и выразим базисные переменные через свободные.

. (5.3)

Каждое из полученных уравнений представляет собой уравнение гиперплоскости в двухмерном пространстве.

. (5.4)

Проведем линию перпендикулярно вектору, который можно построить по коэффициентам при x₁ и x₂. Направление вектора указывает направление возрастания целевой функции (При поиске минимума прямую перемещаем в направлении, обратном направлению вектора). Тогда:

. (5.5)

Решив эту систему уравнений получаем: